Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-09

Главная » СТАТЬИ » ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение показательных неравенств

09 Фев 2012

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств.

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

$a^{f(x)}$ V $a^{g(x)}$ , где V - один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция $y=a^{f(x)}$ возрастает при всех действительных значениях , если a>1 . Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}>{g(x)}

Аналогично, так как показательная функция убывает, если 0<a<1 , и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из неравенства

$a^{f(x)}>a^{g(x)}$ следует неравенство {f(x)}<{g(x)}

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Ещё раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Решим неравенство:

${(0,3)}^{x/{x-2}}<{(0,3)}^{6/{x-1}}$

Так как основание степеней 0,3<1 , при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:

{x/{x-2}}>{6/{x-1}}

Перенесем все влево, и приведем к общему знаменателю:

{x/{x-2}}-{6/{x-1}}>0

{x(x-1)-6(x-2)}/{(x-1)(x-2)}>0

${x^2-7x+12}/{(x-1)(x-2)}>0$

Корни числителя:

x_1=3 , x_2=4

{(x-3)(x-4)}/{(x-1)(x-2)}>0

Решим неравенство методом интервалов: нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:

Ответ: x<1 , 2<x<3 , x>4

2. Решим неравенство:

25^x<6*5^x-5

Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней на простые множители:

$5^{2x}-6*5^x+5<0$

Если бы это было уравнение, мы решали бы его с помощью замены переменной. Поступим также.

Вообще, показательные неравенства делятся на те же типы, что и показательные уравнения, и решаются теми же способами.

Внимание! Если мы решаем неравенство с помошью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства. Поясню на этом примере.

Введем замену: t=5^x , t>0

Получим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t^{2}-6t+5<0} {t>0} }}{ }$

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1<t<5} {t>0} }}{ }

То есть 1<t<5

Запишем двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t>1} {t<5} }}{ }

Вот теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5^{x}>1} {5^{x}<5} }}{ }$

Отсюда: x>0 , x<1

Ответ: 0<x<1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (497) | Метки: решение показательных неравенств

Отзывов (497)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Виталия

2015-06-02 в 08:34

4^x+4^(x+1)>5^x

Ответить
- Инна
  
  2015-06-02 в 08:46
  
  $4^x/>5^{x-1}$
  $log_4{4^x}/>log_4{5^{x-1}}$
  $x/>(x-1)log_4{5}$
  $x/>xlog_4{5}-log_4{5}$
  $log_4{5}/>x(log_4{5}-1)$
  $x<{log_4{5}}/{log_4{5}-1}$
  
  Ответить
Слава

2015-06-15 в 14:45

Помогите пожалуйста
1)3 в степени 2-x > 9
2)(1/2) в степени x-5 < 2 в степени 4x
3) (0,5)в степени 7+3 или равно 3 в степени 2x
5) (0,2) в степени x ( 1/27) в степени 3х-1
7) (1/3) в степени х в квадрате + 2х < (1/9) в степени 16-х
8) (1/16) в степени х в квадрате < 8 * (корень из 2) в степени 16-2х

Ответить
- Инна
  
  2015-06-16 в 12:36
  
  Представить обе части неравенств в виде степени с одним основанием:
  (1/3)^(x^2+2x) < (1/9)^ (16-х) (1/3)^(x^2+2x) < ((1/3)^2)^(16-х) (1/3)^(x^2+2x) < (1/3)^(2(16-х)) 1/3<1, следовательно (x^2+2x)>(2(16-х))
  
  Ответить

Дамир

2015-06-16 в 10:42

Пожалуйста решите задачку)

3^(x+1)+3^(x-1)<28

Ответить

Инна

2015-06-16 в 12:30

выносим за скобку 3^(x-1):
3^(x-1)(3^2+1)<28
3^(x-1)(10)<28
3^(x-1)<2,8
x-1

Ответить

Дамир

2015-06-16 в 15:08

Спасибо большое)

Ответить

Юлия

2015-07-07 в 21:40

Помогите пожалуйста решить пример:http://cs621829.vk.me/v621829509/317cf/rt3c4Zi1KDM.jpg

Ответить

Инна

2015-07-08 в 08:11

2+√3=1/(2-√3)
Вводим замену: (2+√3)^x=t и решаем неравенство t+1/t<3, а потом возвращаемся к переменной х.

Ответить

Александр

2015-07-21 в 05:18

Инна, помогите пожалуйста!
у меня уравнение 3^х(х-1)<9^х . После школы 4 года прошло, не помню ничего(((

Ответить

Инна

2015-07-21 в 08:13

3^{х(х-1)}<9^х
3^{х(х-1)}<3^{2х}
х(х-1)<2x основание степени больше 1, следов. знак неравенства сохраняется.

Ответить

Юлия

2015-08-22 в 21:36

Дублирую: неравенство первое: 7^(х+2)+2*7^-х <= 99

Ответить

Юлия

2015-08-22 в 21:37

Дублирую не равенство второе: log_2х(0,125)>=log_2(64x)-1.

Ответить

Инна

2015-08-23 в 06:35

log_2х(0,125)=(log_2(2x))/log_2(0,125)=(1+log_2(x))/(-3)
log_2(64x)=6+log_2(x)
Ввести замену log_2(x)=t, решить неравенство относительно t, а потом вернуться к исходной переменной

Ответить

Инна

2015-08-23 в 06:40

7^(х+2)=49*7^x
2*7^-х=2/7^x
Ввести замену 7^x=t, решить неравенство 49*t + 2/t <= 99 относительно t, а потом вернуться к исходной переменной

Ответить

алекс

2015-09-23 в 07:57

Как решить уравнение?
6^6хплюс5^х-5минус4=0

Ответить