Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-10

Главная » СТАТЬИ » ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение логарифмических неравенств

10 Фев 2012

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение логарифмических неравенств

Решение логарифмических неравенств имеет много общего с решением показательных неравенств:

а) При переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание логарифма с единицей;

б) Если мы решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства.

Однако, есть одно очень важное отличие: поскольку логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо учитывать область допустимых значений.

Если при решении логарифмического уравнения можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при решении логарифмического неравенства этот номер не проходит: при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать ОДЗ неравенства.

Итак. Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид:

$log_a{f(x)}$ V $log_a{g(x)}$ , где V - один из знаков неравенства: <,>, ≤ или ≥.

Если основание логарифма больше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенство

$log_a{f(x)}>log_a{g(x)}$

равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)>g(x)} {g(x)>0} }}{ }

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный, и неравенство

$log_a{f(x)}>log_a{g(x)}$

равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)<g(x)} {f(x)>0} }}{ }

Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств.

1. Решим неравенство:

$log_{1/3}{(x+4)}>log_{1/3}{(x^2+2x-2)}$

Так как основание логарифмов в обеих частях неравенства меньше 1, при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный. Выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть строго больше нуля. Перейдем к системе:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x+4<x^2+2x-2} {x+4>0} }}{ }$

Обратите внимание: мы указываем, что больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под знаком логарифма. В этом случает большее выражение автоматически будет больше нуля.

Решим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x^2+x-6>0} {x>-4} }}{ }$

Корни квадратного трехчлена: x_1=-3 , x_2=2

Отсюда:

Ответ: {x} in{(-4;-3)}{union}{x}in{(2,{infty})}

2. Решим неравенство:

$log_2{(2-x)}+log_{1/2}{(x-1)}>log_{sqrt{2}}{3}$

Мы видим, что в основании логарифмов стоят степени числа 2, поэтому мы можем привести логарифмы к одному основанию. Сделаем это, воспользовавшись свойствами логарифмов:

$log_2{(2-x)}-log_{2}{(x-1)}>2log_{2}{3}$

Перенесем логарифм с отрицательным коэффициентом из левой части неравенства в правую (так как умножать легче, чем делить).

$log_2{(2-x)}>log_{2}{(x-1)}+2log_{2}{3}$

Так как в неравенстве присутствуют логарифмы с одинаковым основанием и в первой степени, мы можем представить обе части неравенства в виде логарифма по основанию 2:

$log_2{(2-x)}>log_{2}{(x-1)}*{3}^2$

Теперь мы можем перейти от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма. Основание больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется. Не забываем про ОДЗ:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2-x>9(x-1)} {x-1>0} }}{ }

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x<1,1} {x>1} }}{ }

Ответ: {x} in{(1;1,1)}

3. Решим неравенство:

$log^{2}_{2}{(x-x^2+2)}+3log_{1/2}{(x-x^2+2)}<=-2$

В нашем неравенстве логарифм стоит в квадрате, поэтому это логарифмическое неравенство мы будем решать с помощью замены переменных.

Сначала приведем логарифмы к одному основанию:

$log^{2}_{2}{(x-x^2+2)}-3log_{2}{(x-x^2+2)}<=-2$

Введем замену переменных:

$log_{2}{(x-x^2+2)}=t$ .

Получим квадратное неравенство:

t^2-3t+2<=0

Значит, 1<=t<=2 .

Запишем это двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t<=2} {t>=1} }}{ }

Вот только теперь, когда мы получили систему простейших неравенств относительно , мы можем вернуться к исходной переменной.

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{log_{2}{(x-x^2+2)}<=2} {log_{2}{(x-x^2+2)}>=1} }}{ }$

Перейдем к выражениям, стоящим под знаком логарифма:

$delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{{(x-x^2+2)}<=2^2} {{(x-x^2+2)}>=2}{{(x-x^2+2)}>0} }}{ }$

Последнее неравенство системы - это ОДЗ неравенства. Заметим, что оно выполняется, если выполняется второе неравенство системы, поэтому нет необходимости его решать.

Решим систему.

Первое неравенство системы преобразуется к виду

x^2-x+2>=0 Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен, старший коэффициент положителен, поэтому неравенство верно при любых действительных значениях .

Второе неравенства преобразуется к виду x-x^2>=0 , отсюда {x}in{[0;1]}

Ответ: {x}in{[0;1]}

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (103)

Отзывов (103)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

марина

2013-01-24 в 10:56

а как допустим такое решить? log1/3x>=4

Ответить
- Инна
  
  2013-01-24 в 11:24
  
  4=4*log_1/3(1/3)=log_1/3(1/3)^4=log_1/3(1/81) x<=1/81
  
  Ответить
  - лика
    
    2013-02-04 в 17:24
    
    log4(3x-1)>2 не подскажите? никак не могу сообразить(
    
    Ответить
    - Инна
      
      2013-02-04 в 17:31
      
      Нужно представить правую часть в виде логарифма по основанию 4: 2=2*log_4(4)=log_4(4)^2=log_4(16) Основание логарифма больше 1, следовательно переходим к неравенству: 3x-1>16
      
      Ответить
      - лика
        
        2013-02-05 в 04:20
        
        огромное спасибо!)
        
        Ответить
      - Екатерина
        
        2013-02-12 в 15:56
        
        log2(2x+1)>4
        
        Ответить
  - Айко
    
    2014-11-25 в 17:41
    
    а как такое решить : {3 в степени у*3 в степени 2х=3 в степени 4
    Ig(х+у)в степени2 -Igв степени х=2Ig 3
    помогите решить такую систему
    
    Ответить
Екатерина

2013-02-12 в 15:32

Помогите решить log2(2x+1)>4

Ответить
- Инна
  
  2013-02-13 в 08:39
  
  Посмотри в комментариях.
  
  Ответить
Тимур

2013-04-10 в 17:17

В последней системе уравнения сказано, что 2 неравенство системы решать не нужно, а решали неравенство ОДЗ . Но ведь ответь выведен из второго неравенства системы.? Или я ошибаюсь? Если ошибаюсь, то в чём?

Ответить
- Инна
  
  2013-04-11 в 06:58
  
  Второе неравенство просто сильнее последнего, и если оно выполняется, то последнее выполняется точно, поэтому его не надо решать.
  
  Ответить
  - елена
    
    2015-06-19 в 07:19
    
    log2(2x-1)>4
    помогите
    
    Ответить
    - Инна
      
      2015-06-19 в 08:09
      
      $log_2(2x-1)/>log_2{2^4}$
      
      Ответить
Анастасия

2013-04-12 в 16:03

не подскажите, как решить вот такое неравенство?
log2^2x-7log2x+12<0
буду очень благодарна

Ответить
- Инна
  
  2013-04-12 в 16:11
  
  Введи замену: log2x=t и реши квадратное неравенство относительно t.
  
  Ответить
Sergey

2013-07-19 в 10:30

(x^2-4)/log (x^2-1)<0
0.5

Ответить
Sergey

2013-07-19 в 10:31

(x^2-4)/log0.5(x^2-1)<0

Ответить
- Инна
  
  2013-07-19 в 10:45
  
  Решать методом интервалов
  1. найти ОДЗ
  2. приравнять каждый множитель к нулю
  3. нанести на ось
  4. проверить знак на самом правом интервале и расставить знаки
  5. учесть ОДЗ
  
  Ответить
  - Sergey
    
    2013-07-19 в 11:02
    
    {если x^2-4×0=> x>+/-2^0.5
    {если x^2-4>0=>x>+/-2
    Тогда log0.5(x^2-1) x0=> x=+/-1
    что дальше?
    
    Ответить
Sergey

2013-07-19 в 10:46

еще одно неравенство:
logx(log9 (3^x-9))<1
logx(log9 (3^x-9))1=>log9 (3^x-9) x Е R D<0
{если 0<хlog9 (3^x-9)>x => x Е R D0 => x Е (log3 10; ~)
{3^x-9>0 (2;~)

Ответ: (log3 10; ~)

Ответить
- Инна
  
  2013-07-19 в 12:47
  
  Это неравенство с переменным основанием. Представить правую часть 1=log_x(x)
  потом см здесь: //ege-ok.ru/2012/02/12/reshenie-logarifmicheskih-neravenstv-s-peremennyim-osnovaniem/
  
  Ответить