Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-10

Главная » СТАТЬИ » ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение логарифмических неравенств

10 Фев 2012

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение логарифмических неравенств

Решение логарифмических неравенств имеет много общего с решением показательных неравенств:

а) При переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание логарифма с единицей;

б) Если мы решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства.

Однако, есть одно очень важное отличие: поскольку логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо учитывать область допустимых значений.

Если при решении логарифмического уравнения можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при решении логарифмического неравенства этот номер не проходит: при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать ОДЗ неравенства.

Итак. Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид:

$log_a{f(x)}$ V $log_a{g(x)}$ , где V - один из знаков неравенства: <,>, ≤ или ≥.

Если основание логарифма больше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенство

$log_a{f(x)}>log_a{g(x)}$

равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)>g(x)} {g(x)>0} }}{ }

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный, и неравенство

$log_a{f(x)}>log_a{g(x)}$

равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)<g(x)} {f(x)>0} }}{ }

Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств.

1. Решим неравенство:

$log_{1/3}{(x+4)}>log_{1/3}{(x^2+2x-2)}$

Так как основание логарифмов в обеих частях неравенства меньше 1, при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный. Выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть строго больше нуля. Перейдем к системе:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x+4<x^2+2x-2} {x+4>0} }}{ }$

Обратите внимание: мы указываем, что больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под знаком логарифма. В этом случает большее выражение автоматически будет больше нуля.

Решим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x^2+x-6>0} {x>-4} }}{ }$

Корни квадратного трехчлена: x_1=-3 , x_2=2

Отсюда:

Ответ: {x} in{(-4;-3)}{union}{x}in{(2,{infty})}

2. Решим неравенство:

$log_2{(2-x)}+log_{1/2}{(x-1)}>log_{sqrt{2}}{3}$

Мы видим, что в основании логарифмов стоят степени числа 2, поэтому мы можем привести логарифмы к одному основанию. Сделаем это, воспользовавшись свойствами логарифмов:

$log_2{(2-x)}-log_{2}{(x-1)}>2log_{2}{3}$

Перенесем логарифм с отрицательным коэффициентом из левой части неравенства в правую (так как умножать легче, чем делить).

$log_2{(2-x)}>log_{2}{(x-1)}+2log_{2}{3}$

Так как в неравенстве присутствуют логарифмы с одинаковым основанием и в первой степени, мы можем представить обе части неравенства в виде логарифма по основанию 2:

$log_2{(2-x)}>log_{2}{(x-1)}*{3}^2$

Теперь мы можем перейти от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма. Основание больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется. Не забываем про ОДЗ:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2-x>9(x-1)} {x-1>0} }}{ }

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x<1,1} {x>1} }}{ }

Ответ: {x} in{(1;1,1)}

3. Решим неравенство:

$log^{2}_{2}{(x-x^2+2)}+3log_{1/2}{(x-x^2+2)}<=-2$

В нашем неравенстве логарифм стоит в квадрате, поэтому это логарифмическое неравенство мы будем решать с помощью замены переменных.

Сначала приведем логарифмы к одному основанию:

$log^{2}_{2}{(x-x^2+2)}-3log_{2}{(x-x^2+2)}<=-2$

Введем замену переменных:

$log_{2}{(x-x^2+2)}=t$ .

Получим квадратное неравенство:

t^2-3t+2<=0

Значит, 1<=t<=2 .

Запишем это двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t<=2} {t>=1} }}{ }

Вот только теперь, когда мы получили систему простейших неравенств относительно , мы можем вернуться к исходной переменной.

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{log_{2}{(x-x^2+2)}<=2} {log_{2}{(x-x^2+2)}>=1} }}{ }$

Перейдем к выражениям, стоящим под знаком логарифма:

$delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{{(x-x^2+2)}<=2^2} {{(x-x^2+2)}>=2}{{(x-x^2+2)}>0} }}{ }$

Последнее неравенство системы - это ОДЗ неравенства. Заметим, что оно выполняется, если выполняется второе неравенство системы, поэтому нет необходимости его решать.

Решим систему.

Первое неравенство системы преобразуется к виду

x^2-x+2>=0 Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен, старший коэффициент положителен, поэтому неравенство верно при любых действительных значениях .

Второе неравенства преобразуется к виду x-x^2>=0 , отсюда {x}in{[0;1]}

Ответ: {x}in{[0;1]}

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (103)

Отзывов (103)

Следующие комментарии →

Александр

2012-02-10 в 15:50

Отличный урок. Спасибо. Для школьников и студентов информация то, что надо.

Ответить
Николай

2012-02-10 в 16:38

Математика сложный предмет, но необходимый.

Ответить
Анатолий

2012-02-11 в 10:20

Хороший у вас сайт! И очень нужный!!!

Ответить
Ольга

2012-02-24 в 10:27

Ой. первый раз на таком сайте…. как жаль, что когда мы учились не было инета и таких сайтов, хотя я с математикой и в школе дружила, да и в институте с высшей тоже…. нужный сайт…

Ответить
Бондаренко Денис

2013-01-16 в 09:02

Огромное спасибо, всё доходчиво и понятно!)

Ответить
Эльдар

2013-01-18 в 13:05

В первом неравенстве необходимо найти ОДЗ. «Обратите внимание: мы указываем, что больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под знаком логарифма. В этом случает большее выражение автоматически будет больше нуля.» будет неверно. Корни уравнения во втором подлогарифмическом уравнении будут -1-корень(3) и 1+корень(3).
Учитывая ОДЗ, ответ: (-4;(-1-корень(3))U((1+корень(3);+бесконечность)

Ответить
- Инна
  
  2013-01-18 в 13:10
  
  Нет, здесь ответ верный.
  
  Ответить
  - Эльдар
    
    2013-01-18 в 13:23
    
    извините, ошибся
    
    Ответить
    - Инна
      
      2013-01-18 в 13:34
      
      Еще раз спасибо за внимательное чтение.
      
      Ответить
Анзор

2013-01-20 в 17:12

Никак не мог разобраться как решать квадратные логарифмические неравенства (учительница задала на дом, еще не объяснив как решать). Даже в решебнике смотрел, но там настолько все кратко, что я ничего не понял. Спасибо вам за статью, здесь все подробно расписано. Кстати долго искал, где нормально расписано как решать такие уравнения. Наконец нашел сайт. Благодаря вам выполнил домашнее задание 😀

Ответить