Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
23 Фев 2012
14 Задание (2022) (C3)ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение логарифмического неравенства с помощью замены переменной

В этой статье я хочу поделиться с вами очень красивым решением логарифмического неравенства уровня С3. Неравенство вот такое:

log_5{x}+log_x{(x/3)}<{2-log_3{x}}/{log_3{x}}log_5{x}

Начнем решение с нахождения области допустимых значений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x>0} {x<>1} }}{ }

Теперь преобразуем второй логарифм и представим его в виде логарифма по основанию 3:

log_x{(x/3)}=log_x{x}-log_x{3}=1-1/{log_3{x}}

Подставим в исходное неравенство:

log_5{x}+1-1/{log_3{x}}<{2-log_3{x}}/{log_3{x}}log_5{x}

Мы видим, что переменная х встречается в составе двух выражений:

log_5{x} и log_3{x}

Чтобы наше неравенство стало более "прозрачным", введем замену переменной:

a=log_5{x} и b=log_3{x}

Тогда наше неравенство примет вид:

a+1-1/b<{2-b}/{b}a

Перенесем все слагаемые влево и приведем к общему знаменателю:

{ab+b-1-2a+ab}/b<0

Разложим числитель на множители:

{2a(b-1)+(b-1)}/b<0

{(b-1)(2a+1)}/b<0

Вернемся к исходной переменной:

{(log_3{x}-1)(2log_5{x}+1)}/{log_3{x}}<0

Найдем нули числителя и знаменателя:

log_3{x}-1=0, x=3

2log_5{x}+1=0,  log_5{x}=-{1/2},  x=1/{sqrt{5}}

log_3{x}=0,  x=1

Нанесем эти числа на координатную прямую и рассставим знаки:

Облать допустимых значений нашего неравенства:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x>0} {x<>1} {}}}{ }

Учтем ее:

Ответ: 0<x<1/{sqrt{5}},  1<x<3

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение логарифмического неравенства с помощью замены переменной
| Отзывов (11)

Отзывов (11)

← Предыдущие комментарии
  1. Konstantin
    в 13:26

    Как Вы расставляли знаки на координатной прямой?
    Ответить
    • Инна
      в 14:48

      Берем число из самого правого промежутка, и выясняем знак знак в этой точке. потом идем справа налево и расставляем знаки. Подробно здесь: //ege-ok.ru/2012/01/05/reshenie-ratsionalnyih-neravenstv-met/
      Ответить
← Предыдущие комментарии

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *