Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-10

Главная » СТАТЬИ » ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение логарифмических неравенств

10 Фев 2012

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение логарифмических неравенств

Решение логарифмических неравенств имеет много общего с решением показательных неравенств:

а) При переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание логарифма с единицей;

б) Если мы решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства.

Однако, есть одно очень важное отличие: поскольку логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо учитывать область допустимых значений.

Если при решении логарифмического уравнения можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при решении логарифмического неравенства этот номер не проходит: при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать ОДЗ неравенства.

Итак. Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид:

$log_a{f(x)}$ V $log_a{g(x)}$ , где V - один из знаков неравенства: <,>, ≤ или ≥.

Если основание логарифма больше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенство

$log_a{f(x)}>log_a{g(x)}$

равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)>g(x)} {g(x)>0} }}{ }

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный, и неравенство

$log_a{f(x)}>log_a{g(x)}$

равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)<g(x)} {f(x)>0} }}{ }

Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств.

1. Решим неравенство:

$log_{1/3}{(x+4)}>log_{1/3}{(x^2+2x-2)}$

Так как основание логарифмов в обеих частях неравенства меньше 1, при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный. Выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть строго больше нуля. Перейдем к системе:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x+4<x^2+2x-2} {x+4>0} }}{ }$

Обратите внимание: мы указываем, что больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под знаком логарифма. В этом случает большее выражение автоматически будет больше нуля.

Решим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x^2+x-6>0} {x>-4} }}{ }$

Корни квадратного трехчлена: x_1=-3 , x_2=2

Отсюда:

Ответ: {x} in{(-4;-3)}{union}{x}in{(2,{infty})}

2. Решим неравенство:

$log_2{(2-x)}+log_{1/2}{(x-1)}>log_{sqrt{2}}{3}$

Мы видим, что в основании логарифмов стоят степени числа 2, поэтому мы можем привести логарифмы к одному основанию. Сделаем это, воспользовавшись свойствами логарифмов:

$log_2{(2-x)}-log_{2}{(x-1)}>2log_{2}{3}$

Перенесем логарифм с отрицательным коэффициентом из левой части неравенства в правую (так как умножать легче, чем делить).

$log_2{(2-x)}>log_{2}{(x-1)}+2log_{2}{3}$

Так как в неравенстве присутствуют логарифмы с одинаковым основанием и в первой степени, мы можем представить обе части неравенства в виде логарифма по основанию 2:

$log_2{(2-x)}>log_{2}{(x-1)}*{3}^2$

Теперь мы можем перейти от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма. Основание больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется. Не забываем про ОДЗ:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2-x>9(x-1)} {x-1>0} }}{ }

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x<1,1} {x>1} }}{ }

Ответ: {x} in{(1;1,1)}

3. Решим неравенство:

$log^{2}_{2}{(x-x^2+2)}+3log_{1/2}{(x-x^2+2)}<=-2$

В нашем неравенстве логарифм стоит в квадрате, поэтому это логарифмическое неравенство мы будем решать с помощью замены переменных.

Сначала приведем логарифмы к одному основанию:

$log^{2}_{2}{(x-x^2+2)}-3log_{2}{(x-x^2+2)}<=-2$

Введем замену переменных:

$log_{2}{(x-x^2+2)}=t$ .

Получим квадратное неравенство:

t^2-3t+2<=0

Значит, 1<=t<=2 .

Запишем это двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t<=2} {t>=1} }}{ }

Вот только теперь, когда мы получили систему простейших неравенств относительно , мы можем вернуться к исходной переменной.

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{log_{2}{(x-x^2+2)}<=2} {log_{2}{(x-x^2+2)}>=1} }}{ }$

Перейдем к выражениям, стоящим под знаком логарифма:

$delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{{(x-x^2+2)}<=2^2} {{(x-x^2+2)}>=2}{{(x-x^2+2)}>0} }}{ }$

Последнее неравенство системы - это ОДЗ неравенства. Заметим, что оно выполняется, если выполняется второе неравенство системы, поэтому нет необходимости его решать.

Решим систему.

Первое неравенство системы преобразуется к виду

x^2-x+2>=0 Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен, старший коэффициент положителен, поэтому неравенство верно при любых действительных значениях .

Второе неравенства преобразуется к виду x-x^2>=0 , отсюда {x}in{[0;1]}

Ответ: {x}in{[0;1]}

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (103)

Отзывов (103)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

ГУЛСУН

2014-11-13 в 03:35

logоснования3числаX +logоснованияХчисла9=3 ПОЖАЛУЙСТА ПОДСКАЖИТЕ

Ответить
- Инна
  
  2014-11-13 в 05:38
  
  Введем замену переменной:
  logоснования3числаX=t
  logоснованияХчисла9=2*logоснованияХчисла3=2/t
  Получаем квадратно уравнение относительно t
  
  Ответить
Оксана

2014-12-05 в 09:41

Требуется помощь, окончательно запуталась в логорифмах.
log с осн.4(64)-log3 (3)+log5 (1)

11*2^log2x>x+70

Ответить
- Инна
  
  2014-12-05 в 10:48
  
  log с осн.4(64)=3
  log3 (3)=1
  log5 (1)=0
  2^log2x=х, при этом добавляется условие, что x>0
  
  Ответить
  - Илья
    
    2014-12-22 в 15:10
    
    Ирина, хотел бы спросить у Вас.Дали такое задание: 0.5log(4x-3)<0.Стыдно просить Вас о помощи..
    
    Ответить
    - Инна
      
      2014-12-22 в 15:19
      
      По какому основанию логарифм?
      Если основание логарифма больше 1, то 4x-3 больше 0 и меньше 1
      Если основание логарифма больше 0 и меньше 1, то 4x-3 больше 1
      
      Ответить
Айс

2015-01-30 в 18:01

Помогите пожалуйста Найдите все значения p при которых Log p 15<log p 10 и log 5p 8 < log 5p 6

Ответить
- Инна
  
  2015-01-30 в 18:07
  
  1) Log p 15<log p 10 — функция убывает (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, значит р больше 0 и меньше 1
  2) log 5p 8 < log 5p 6 аналогично, значит, 5р больше 0 и меньше 1, то есть р больше 0 и меньше 1/5
  
  Ответить
Айс

2015-01-30 в 18:22

На интервале [0;2п] найти все значения х удовлетворяющие неравенству (п/2-е/3)^ln(-сosх) >или равно 1

Ответить
- Инна
  
  2015-01-30 в 18:30
  
  п/2-е/3<1
  ln(-сosх)<=0
  -сosх=-1и меньше 0 следовательно х больше π/2 и меньше 3π/2
  
  Ответить
Богиня любви

2015-03-16 в 18:59

как решить неравенство вида log (x/x-1) 5 <= log (x/2) 5, где неизвестная в основании логарифма? можно ли применять метод замены множителей, или можно решить быстрее?

Ответить
- Инна
  
  2015-03-19 в 13:48
  
  смотрите здесь http://pastenow.ru/AU4W
  и здесь:
  http://pastenow.ru/AU4Y
  
  Ответить
Михаил

2015-03-27 в 12:24

Откуда мы берем выражения в системе я так и не понял…

Ответить
Анастасия

2015-08-08 в 09:06

Добрый день ! Помогите пожалуйста решить logх(х-2)*logх(х+2)<или равно 0 .

Ответить
- Инна
  
  2015-08-09 в 12:50
  
  По какому основанию логарифмы?
  
  Ответить