Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-10

Главная » СТАТЬИ » ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение логарифмических неравенств

10 Фев 2012

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение логарифмических неравенств

Решение логарифмических неравенств имеет много общего с решением показательных неравенств:

а) При переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание логарифма с единицей;

б) Если мы решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства.

Однако, есть одно очень важное отличие: поскольку логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо учитывать область допустимых значений.

Если при решении логарифмического уравнения можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при решении логарифмического неравенства этот номер не проходит: при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать ОДЗ неравенства.

Итак. Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид:

$log_a{f(x)}$ V $log_a{g(x)}$ , где V - один из знаков неравенства: <,>, ≤ или ≥.

Если основание логарифма больше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенство

$log_a{f(x)}>log_a{g(x)}$

равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)>g(x)} {g(x)>0} }}{ }

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный, и неравенство

$log_a{f(x)}>log_a{g(x)}$

равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)<g(x)} {f(x)>0} }}{ }

Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств.

1. Решим неравенство:

$log_{1/3}{(x+4)}>log_{1/3}{(x^2+2x-2)}$

Так как основание логарифмов в обеих частях неравенства меньше 1, при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный. Выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть строго больше нуля. Перейдем к системе:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x+4<x^2+2x-2} {x+4>0} }}{ }$

Обратите внимание: мы указываем, что больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под знаком логарифма. В этом случает большее выражение автоматически будет больше нуля.

Решим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x^2+x-6>0} {x>-4} }}{ }$

Корни квадратного трехчлена: x_1=-3 , x_2=2

Отсюда:

Ответ: {x} in{(-4;-3)}{union}{x}in{(2,{infty})}

2. Решим неравенство:

$log_2{(2-x)}+log_{1/2}{(x-1)}>log_{sqrt{2}}{3}$

Мы видим, что в основании логарифмов стоят степени числа 2, поэтому мы можем привести логарифмы к одному основанию. Сделаем это, воспользовавшись свойствами логарифмов:

$log_2{(2-x)}-log_{2}{(x-1)}>2log_{2}{3}$

Перенесем логарифм с отрицательным коэффициентом из левой части неравенства в правую (так как умножать легче, чем делить).

$log_2{(2-x)}>log_{2}{(x-1)}+2log_{2}{3}$

Так как в неравенстве присутствуют логарифмы с одинаковым основанием и в первой степени, мы можем представить обе части неравенства в виде логарифма по основанию 2:

$log_2{(2-x)}>log_{2}{(x-1)}*{3}^2$

Теперь мы можем перейти от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма. Основание больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется. Не забываем про ОДЗ:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2-x>9(x-1)} {x-1>0} }}{ }

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x<1,1} {x>1} }}{ }

Ответ: {x} in{(1;1,1)}

3. Решим неравенство:

$log^{2}_{2}{(x-x^2+2)}+3log_{1/2}{(x-x^2+2)}<=-2$

В нашем неравенстве логарифм стоит в квадрате, поэтому это логарифмическое неравенство мы будем решать с помощью замены переменных.

Сначала приведем логарифмы к одному основанию:

$log^{2}_{2}{(x-x^2+2)}-3log_{2}{(x-x^2+2)}<=-2$

Введем замену переменных:

$log_{2}{(x-x^2+2)}=t$ .

Получим квадратное неравенство:

t^2-3t+2<=0

Значит, 1<=t<=2 .

Запишем это двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t<=2} {t>=1} }}{ }

Вот только теперь, когда мы получили систему простейших неравенств относительно , мы можем вернуться к исходной переменной.

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{log_{2}{(x-x^2+2)}<=2} {log_{2}{(x-x^2+2)}>=1} }}{ }$

Перейдем к выражениям, стоящим под знаком логарифма:

$delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{{(x-x^2+2)}<=2^2} {{(x-x^2+2)}>=2}{{(x-x^2+2)}>0} }}{ }$

Последнее неравенство системы - это ОДЗ неравенства. Заметим, что оно выполняется, если выполняется второе неравенство системы, поэтому нет необходимости его решать.

Решим систему.

Первое неравенство системы преобразуется к виду

x^2-x+2>=0 Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен, старший коэффициент положителен, поэтому неравенство верно при любых действительных значениях .

Второе неравенства преобразуется к виду x-x^2>=0 , отсюда {x}in{[0;1]}

Ответ: {x}in{[0;1]}

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (103)

Отзывов (103)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Фера

2014-05-16 в 21:44

Фера. помогите решить уравнение 6log 1/2(-х) -log2 1/2 х2 =2 никак не можем выразить цифру 2. выразили t=log 1/2(х) получили уравнение -6t -4t2=2 Остановились.

Ответить
- Инна
  
  2014-05-17 в 10:04
  
  log2 1/2 х2 =(log_(1/2)x^2)^2=(2log_(1/2)|x|)^2=(2log_(1/2)(-x))^2=4(log_(1/2)(-x))^2
  t=log_(1/2)(-x)
  Получили уравнение 6t-4t^2=2
  4t^2-6t+2=0
  Вы вынесли «-» из под знака логарифма — это ошибка
  
  Ответить
Андрей

2014-06-02 в 09:25

во втором примере не полностью рассматривается ОДЗ. Почему нет условия что 2-х> 0 ?

Ответить
- Инна
  
  2014-06-02 в 09:58
  
  2-x>9(x-1)
  (x-1)>0 из первого и второго неравенства следует, что 2-x>0
  
  Ответить
santa

2014-09-13 в 12:20

Здравствуйте,Инна.Помогите пожалуйста решить такое уравнение sin^x + sin x = 0 и такое 5lg^x + 4lg x-1=0

Ответить
- Инна
  
  2014-09-13 в 12:25
  
  Оба уравнения решаются с помощью замены переменной. В первом sin x=t
  Во втором lg x=t.
  Осталось решить квадратные уравнения относительно t, а затем вернуться к исходной переменной
  
  Ответить
santa

2014-09-13 в 12:34

Спасибо большое Вам,Инна!простите, пожалуйста у меня во втором получились t=1/5 и -1 .когда я подставляю 1/5 в lgx= t то не могу получить ответ

Ответить
- Инна
  
  2014-09-13 в 12:38
  
  Так и будет: по определению логарифма, если lgx= 1/5, то х=10^(1/5)
  
  Ответить
santa

2014-09-13 в 13:04

скажите пожалуйста, а как решить неравенство (х+1)(х-2) в квадрате (х-3) в кубе меньше или=0

Ответить
- Инна
  
  2014-09-13 в 13:06
  
  //ege-ok.ru/2012/01/05/reshenie-ratsionalnyih-neravenstv-met/
  
  Ответить
santa

2014-09-13 в 13:11

к сожалению у меня не открывается эта ссылка(

Ответить
- Инна
  
  2014-09-13 в 13:12
  
  нужно ее скопировать в адресную строку
  
  Ответить
дима

2014-11-10 в 16:13

Пожайлуста помогите.
log c осгование 1/5 (3X-5)>LOG1/5 (x+1)

Ответить
- Инна
  
  2014-11-10 в 16:39
  
  3X-5<x+1 — знак неравенства меняем на противоположный, так как основание логарифма меньше 1
  
  Ответить