Решение иррациональных уравнений с помощью замены переменной

В этой статье я расскажу о том, как  решать довольно сложные иррациональные уравнения с помощью замены переменной.

Я не устаю повторять, что  замена переменной и разложение на множители - два универсальных приема, которые надо всегда держать в голове. Однако, не всегда замена переменной очевидна, и о некоторых видах замены догадаться сложно, их нужно знать.

В этой статье я хочу поделиться с вами несколькими красивыми способами решения иррациональных уравнений.

1. Решим уравнение:

Мы видим, что в уравнении присутствует корень третьей степени и квадратный корень. Чтобы избавиться от иррациональности, нам пришлось бы, в конечном итоге, возводить уравнение в шестую степень. Можете при желании попробовать самостоятельно этот способ, но мы пойдем другим путем.

Давайте введем замену:

пусть   и ,  

Выразим подкоренные выражения:

,   , 

Теперь перед нами стоит задачи найти линейную комбинацию покоренных выражений, в результате которой получилось бы просто число. В данном случае все просто: если мы сложим подкоренные выражения, то получим число 1:

Тогда вместо нашего уравнения мы получим систему:

Выразим в первом уравнении  через , так как возводить выражение в квадрат проще, чем в третью степень:

Подставим во второе уравнение:

Отсюда:

,  ,  

Найдем соответствующие значения :

,  ,  . Условию  удовлетворяют все значения.

Теперь самое время вернуться к исходной переменной. Вспомним, что,

Отсюда ,  ,  ,

,  ,  

Ответ: {2; 10; 1}

2. Теперь я предлагаю вам рассмотреть решение более сложного иррационального уравнения, уровня С3.

Решим уравнение:

Введем замену 

Получим уравнение:

Перенесем все слагаемые влево:

Теперь мы видим, что имеем дело с однородным уравнением, и, так как  не является корнем уравнения (при этом значении х переменная t обращается в ноль), разделим обе части уравнения на 

Получим:

Решим квадратное уравнение относительно 

Получим:  или 

Вернемся к исходной переменной.

Теперь нам надо решить два уравнения:

(1)

(2)

Решим уравнение (1):

Вспомним, как решаются простейшие иррациональные уравнения и перейдем к равносильной системе:

Решим первое уравнение системы. Получим:

,  

Условию удовлетворяет только корень 

Решим уравнение (2):

Возведем обе части уравнения в квадрат и перейдем  к равносильной системе:

Решим первое уравнение системы. Получим:

,  

Условию  удовлетворяет только корень 

Ответ: , 

3. И, наконец, я предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК с подробным решением уравнения уровня С3:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.