В этой статье я хочу познакомить вас с тремя способами нахождения расстояния от точки до плоскости. Какой из них выбирать при решении задачи, зависит от ее условия.
О четвертом, координатном методе нахождения расстояния от точки до плоскости я расскажу в следующей статье.
Решим задачу: В единичном кубе 
найдите расстояние от точки 
до плоскости 
:
Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Чтобы провести перпендикуляр из точки к плоскости , проведем через точку плоскость, перпендикулярную плоскости :
Докажем, что плоскость 
перпендикулярна плоскости :
1. 
(как диагонали квадрата)
2. 
(так как 
перпендикулярна плоскости 
и, значит, любой прямой, лежащей в этой плоскости)
3. Таким образом, прямая 
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости (
и ), и, следовательно, перпендикулярна плоскости . Значит, любая плоскость, проходящая через прямую будет перпендикулярна плоскости , в том числе и плоскость .
- линия пересечения плоскости и плоскости .
Рассмотрим треугольник 
и в плоскости этого треугольника проведем высоту 
к стороне :
Начертим треугольник отдельно:
Найдем 
как гипотенузу прямоугольного треугольника 
:
Чтобы найти высоту 
, выразим два раза площадь треугольника:
Ответ: 
2 способ.
Рассмотрим правильную пирамиду 
с основанием 
и вершиной 
:
Расстояние от точки до плоскости равно высоте пирамиды.
В основании пирамиды лежит правильный треугольник 
стороны которого равны 
. Боковые ребра пирамиды также равны между собой и равны .
Если боковые ребра пирамиды равны между собой, то вершина проецируется в центр описанной около основания окружности - в нашем случае ( в случае правильного треугольника) - это точка пересечения медиан.
Точка M - точка пересечения медиан правильного треугольника делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины.
найдем по теореме Пифагора из треугольника 
:
Ответ:
Примечание. Если вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности, то высоту пирамиды можно найти по формуле:
, где 
- высота пирамиды, 
- длина бокового ребра, 
- радиус окружности, описанной около основания.
Радиус описанной окружности удобно находить по теореме синусов: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности
3. И еще один способ нахождение расстояния от точки до плоскости через объем. Рассмотрим тетраэдр 
. Он получается, если от куба 
"отрезать" 4 одинаковые пирамиды, объем каждой из которых равен 1/6 объема куба. То есть мы "отрезаем" 2/3 объема куба и остается 1/3.
Площадь основания тетраэдра равна площади треугольника и равна 
Получаем: 
Отсюда 
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
и почему не было такого сайта, когда я в школе училась)
Когда-то такие задачки решались на ура! Спасибо, будем тренировать мозги.
в последнем ответе ошибка. 2sqrt(3)/3 должно быть
Спасибо, исправила.
вообще-то там и есть два корня из трёх, делённое на три)
Небольшая описка в 1ом способе, пункте 3. B1D1 будет ⟂ AA1C1C, а не CB1D1.