Расстояние между двумя прямыми. Метод координат. Задание 14
В этой статье я хочу показать решение задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми, которую мы уже решали геометрическим способом, но теперь с помощью метода координат. Я специально показываю решение одной задачи разными способами, чтобы у вас была возможность выбрать наиболее удобный для вас.
Итак, аналитический способ решения задачи:
В правильной треугольной призме 
, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми 
и 
:
Как мы помним из геометрического метода решения этой задачи, расстояние между прямыми и есть расстояние от точки 
, которая является серединой отрезка до плоскости 
:
Рассстояние 
от точки 
до плоскости 
вычисляется по такой формуле:
Поместим нашу призму в систему координат. Если мы решаем задачу с кубом или прямоугольным параллелепипедом, то выбор системы координат очевиден: мы помещаем начало координат в одну из вершин куба, а оси направляем вдоль ребер. В случае призмы это не столь очевидно.
Нам надо выбрать систему координат таким образом, чтобы координаты точки 
и точек 
, 
и 
, задающих плоскость вычислялись наиболее простым способом и содержали как можно больше нулей. Поэтому удобно выбрать систему координат вот таким образом:
Запишем координаты нужных нам точек:
Чтобы найти коэффициенты 
, 
, 
и 
в уравнении плоскости , примем коэффициент 
, и подставим координаты точек , и в уравнение плоскости. (Мы приняли коэффициент, так как наша плоскость не проходит через начало координат.)
Получим систему уравнений:
Отсюда:
,
,
Подставим значения коэффициентов и координаты точки в формулу для расстояния. Получим:
Ответ: 
Спасибо. Очень познавательно.