Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
11 Мар 2012
04 Задание (2016)ТРИГОНОМЕТРИЯ

Упрощение тригонометрических выражений. Задание 9

Упрощение тригонометрических выражений. Задание 9.

При упрощении тригонометрических выражений полезно придерживаться такой последовательности действий:

1. С помощью формул приведения привести все тригонометрические функции к углам первой четверти.

2. Посмотреть, как соотносятся между собой полученные углы, чтобы определить, какие формулы использовать для преобразования выражения. В большинстве задач это формулы двойного аргумента или соотношение sin{alpha}=cos(90{circ}-{alpha})

3. Воспользоваться основными тригонометрическими формулами.

Прежде чем читать дальше, очень рекомендую перечитать статью, как пользоваться формулами приведения  и не заучивать их.

 

Рассмотрим несколько примеров решения задач на упрощение тригонометрических выражений из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике.

1. Задание B10 (№ 26756) Найдите значение выражения{24(sin^2{17^{circ}}-cos^2{17^{circ}}) }/{cos{34^{circ}}}

Мы видим, что 34=2*17, поэтому либо разложим знаменатель по формуле косинуса двойного аргумента, либо, наоброт свернем числитель по той же формуле:

{24(sin^2{17^{circ}}-cos^2{17^{circ}}) }/{cos{34^{circ}}}={24(sin^2{17^{circ}}-cos^2{17^{circ}}) }/{(cos^2{17^{circ}}-sin^2{17^{circ}}) }=-24

Ответ: -24.

2. Задание B10 (№ 26757) Найдите значение выражения {5cos{29^{circ}}}/{sin{61^{circ}}} 

Заметим, что 29^{circ}+61^{circ}=90^{circ}

Воспользеумся фомулой приведения:

{5cos{29^{circ}}}/{sin{61^{circ}}}={5cos({90^{circ}-61^{circ}})}/{sin{61^{circ}}}={5sin{61^{circ}}}/{sin{61^{circ}}}=5

Ответ: 5.

3. Задание B10(№ 26757) Найдите значение выражения 8/{sin{{(-27{pi}}/4)}cos{{(31{pi}}/4})}

Преобразуем аргументы тригонометрических функций в знаменателе дроби:

{27{pi}}/4=6{3/4} {pi}=6{pi}+{3/4} {pi}

{31{pi}}/4=7{3/4} {pi}=6{pi}+1{3/4} {pi} 

Вспомним, что   синус  - нечетная функция,  а косинус - четная:

sin({-{alpha}})=-sin{alpha}

cos({-{alpha}})=cos{alpha} 

А также периодичность синуса и косинуса. Получим:

8/{sin{{(-27{pi}}/4)}cos{{(31{pi}}/4})}=-{8/{sin{({3/4} {pi})}cos{(1{3/4} {pi})}}}

С помощью тригонометрического круга определим значение

sin{{3/4} {pi}} и  cos{1{3/4} {pi}}:

Получим:

-8/{{sqrt{2}/2}{sqrt{2}/2}} =-8/{1/2}=-16

Ответ: - 16.

4. Задание B10 (№ 26770) Найдите значение выражения 5tg{17^{circ}} tg{107^{circ}} 

Воспользуемся формулой приведения:

5tg{17^{circ}} tg{107^{circ}}=5tg{17^{circ}} tg({90^{circ}+17^{circ}})=5tg{17^{circ}}({-ctg{17^{circ}}})=-5 

Ответ: - 5.

 

5. Задание B10 (№ 26774) Найдите значение выражения 12/{sin^2{27^{circ}}+cos^2{207^{circ}}}

Снова воспользуемся формулой приведения:

12/{sin^2{27^{circ}}+cos^2{207^{circ}}} =12/{sin^2{27^{circ}}+cos^2{(180^{circ}+27^{circ})}}==12/{sin^2{27^{circ}}+({-cos{27^{circ}}})^2}=12/{sin^2{27^{circ}}+cos^2{27^{circ}}}=12

Ответ: 12.

6. Задание B10 (№ 26776) Найдите tg{alpha} , если sin{alpha}=-5/{sqrt{26}} и {alpha}{in}({pi};{3{pi}}/2)  

По основному тригонометрическому тождеству:

cos^2{alpha}=1-{(-5/{sqrt{26}})}^2=1-{25}/{26}=1/{26}

Косинус в  третьей четверти отрицателен, поэтому

cos{alpha}=-1/{sqrt{26}}

Отсюда tg {alpha}={sin{alpha}}/{cos{alpha}}={-5/{sqrt{26}}}/({-1/{sqrt{26}}})=5

Ответ: 5.

7. Задание B10 (№ 26781) Найдите значение выражения {3cos{({pi}-{beta})}+sin{({pi}/2}+{beta})}/{cos{({{beta}+3{pi}})}}

Воспользуемся формулами приведения:

cos{({{pi}-{beta}})}=-cos{beta}

sin{({{{pi}/2}+{beta}})}=cos{beta}  

cos({{beta}+3{pi}})=-cos{beta}

Получим:

{3({-cos{beta}})+cos{beta}}/{({-cos{beta}})}={-2cos{beta}}/{({-cos{beta}})}=2

Ответ: 2

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox


И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Купить видеокурс "ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и 13"

Для вас другие записи этой рубрики:

Упрощение тригонометрических выражений. Задание 9
| Отзывов (18)

Отзывов (18)

  1. Василий Кут
    в 13:09

    Спасибо большое! Как раз завтра переводной экзамен, эта тема будет.
    Ответить
  2. Александр
    в 07:55

    Скажите пожалуйста, почему в задаче №3 получилось 16, а не -16?
    Ответить
  3. Александр
    в 08:00

    по лошадиному правилу в задаче №4 должно быть -ctgx. Почему в решении задачи нет минуса?
    Ответить
  4. Александр
    в 08:05

    Будте добры, скажите пожалуйста, почему в шестой задаче в решении написано: «косинус в четвёртой четверти…», а в условии угол принадлежит третьей четверти?
    Ответить
    • Инна
      в 08:20

      Александр! Спасибо вам огромное! Желаю себе побольше таких внимательных посетителей. Все исправила.
      Ответить
  5. Андрей
    в 13:53

    Как разобраться с таким выражением, например, tg(45+альфа)*tg(45+3альфа)? По формулам привидения первая получается 1, а вторая, что значит это 3 альфа, как с этим работать, что-то не могу сообразить?
    Ответить
    • Инна
      в 15:03

      Записать как

         

      а потом преобразовать произведение в сумму. Формула привидения здесь не работает.
      Ответить
      • Инна
        в 15:16

        После преобразования суммы в произведение, воспользоваться формулами приведения, потом в числителе все выразить через и разложить на множители, разложить на множители знаменатель и сократить. Получится

           

        Наверное.
        Ответить
        • Андрей
          в 12:25

          У меня пока ничего не получилось. С преореобразованием и упрощением в тригонометрии у меня совсем плохо(
          Ответить
      • Андрей
        в 11:58

        На самом деле всё задание выглядит так:

        То есть мы просто tg(45+ \alpha )*tg(45+3 \alpha )преобразовываем в \frac{sin(45+ \alpha )}{cos(45+ \alpha )} * \frac{sin(45+3 \alpha )}{cos45+3 \alpha )} так получается?
        Ответить
        • Инна
          в 12:09

          да,

             

          Как записывать формулы см. здесь: //ege-ok.ru/2015/06/19/proverka-plagina
          Ответить
        • Андрей
          в 12:30

          «После преобразования суммы в произведение»
          «а потом преобразовать произведение в сумму»
          Преобразовывать всё же сумму в произведение или произведение в сумму?
          Ответить
          • Инна
            в 12:33

            После преобразования суммы в произведение,
            1.воспользоваться формулами приведения,
            2.потом в числителе все выразить через и разложить на множители,
            3. разложить на множители знаменатель и сократить.
            Получится,наверное,

               

            Проделайте это все по пунктам
            Ответить
        • Андрей
          в 12:50

          Ничего не выходит(
          Ответить
  6. Андрей
    в 12:00
    Ответить
  7. Александра
    в 05:47

    в задании 5 косинус принадлежит 3 четверти, а там он отрицателен. при использовании формулы приведения получаем знак минус
    Ответить
    • Инна
      в 06:47

      Мы потом косинус возводим в квадрат и минус «съедается». Записала подробнее, посмотрите в статье.
      Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *