Тригонометрическое уравнение. Разложение на множители с помощью метода неопределенных коэффициентов. ДВИ МГУ

Преобразуем по формуле :

Так как , перепишем уравнение в виде:

Введем замену:

Получим уравнение относительно :

Перейдем к равносильной системе:

Решим первое уравнение системы:

Мы получили уравнение четвертой степени. Чтобы уменьшить коэффициенты, введем еще одну замену: .

Получим уравнение относительно :

Чтобы решить это уравнение, представим левую часть в виде произведение двух квадратных трехчленов с помощью метода неопределенных коэффициентов. (Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.)

Пусть выполняется равенство:

Здесь -целые числа.

Перемножим две скобки справа и приведем подобные члены. Получим:

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях  и получим систему уравнений:

, отсюда или 

Отсюда

Рассмотрим два случая:

1. 

Тогда система примет вид:

Разложим число 12 на множители всеми возможными способами.

Без ограничения общности можем считать, что .

Пусть - подставим в систему, и убедимся, что она не имеет решений.

Аналогично система не имеет решений, если , .

2.

Тогда система примет вид:

Пусть - подставим в систему, и убедимся, что она не имеет решений.

Пусть .

Тогда  и наше разложение имеет вид:

Приравняем каждый множитель к нулю, получим корни уравнения :

, .

Отсюда , .

Выберем корни, удовлетворяющие условиям:

, то есть  .

Из положительных корней этому условию удовлетворяет только .

Вернемся к исходной переменной:

Ответ: