Решение задач на совместную работу. Задание 11
Задачи на работу делятся на два типа:
- задачи, в которых выполняется раздельная работа - эти задачи решаются аналогично задачам на движение.
- задачи на совместную работу.
Если в задаче встречаются слова "выполнили работу вместе" или слова "совместная работа", значит это задача на совместную работу.
В этой статье я подробно остановлюсь на алгоритме решения задач на совместную работу.
1. В задачах на совместную работу мы имеем дело с теми же тремя параметрами, что и в задачах на раздельную работу:
- объем работы,
- время,
- производительность,
которые связаны между собой формулой:
объем работы=производительность 
время.
2. Объем работы, если он не указан отдельно, принимаем равным 1.
3. Вводим два неизвестных:
х - время выполнения всей работы кем-то (или чем-то) первым
y - время выполнения всей работы кем-то (или чем-то) вторым.
(В некоторых задачах "выгоднее" принять за неизвестные производительность)
Тогда
- производительность кого-то (или чего-то) первого
- производительность кого-то (или чего-то) первого
И в этом месте появляется параметр, которого не было в задачах на раздельную работу, а именно - совместная производительность
совместная производительность равна 
Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:
1. Задание 11 (№ 99617)
Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
Про Машу нам все известно: время её работы равно 20, следовательно, её производительность равна 
.
Пусть Даша пропалывает грядку за х минут, тогда её производительность равна .
Тогда совместная производительность равна 
Объем работы примем равным 1.
Время совместной работы равно 12 минут, отсюда получаем уравнение:
Решим его:
Ответ: 30
2. Классическая задача на совместную работу:
Задание 11 (№ 99619)
Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
1. Введем неизвестные:
Пусть
х - время заполнения резервуара первой трубой
y - время заполнения резервуара второй трубой
- производительность первой трубы
- производительность второй трубы
- совместная производительность
2. Примем объем резервуара равным 1.
3. У нас 2 неизвестных, поэтому будем составлять систему из двух уравнений.
По условию задачи, первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая, следовательно время работы первой трубы на 6 минут больше, чем второй:
Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты, следовательно, время совместной работы равно 4 минуты. Получаем второе уравнение системы:
Получили систему уравнений:
, 
- не подходит по смыслу задачи.
Ответ: 6
3. Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, в котором я показываю решение такой задачи:
Задание 11 (№ 99616)
Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
4. И, наконец, видеорешение такой задачи:
Три экскаватора разной производительности роют котлован. Работа будет выполнена, если каждый проработает 12 часов. Она также будет выполнена, если первый проработает 8 часов, второй 16, а третий 10. Сколько часов должен проработать второй экскаватор, чтобы завершить работу, если до него первый проработал 10 часов, а третий - 11?
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Инна Владимировна, объясните пожалуйста, почему в задаче № 99619, при составлении системы уравнений первое уравнение именно такое х=у+6, ведь за х мы принимали первую трубу и именно у нее время было на 6 минут больше чем у второй трубы (кот. мы принимали за у), по идее должно быть х+6 .
Чтобы приравнять две величины, нужно к МЕНЬШЕЙ ВЕЛИЧИНЕ ПРИБАВИТЬ число, на которое она меньше большей величины. Если у тебя на 10 рублей больше, чем у меня, к моим деньгам нужно добавить 10 руб. чтобы стало поровну.
Мне немного непонятно — почему за x нельзя принять вторую трубу, то есть получится что её производительность равна x-6, а производительность первой y. То есть в итоге 1=4(1/(x) + 1/(x-6)).
Это моя постоянная ошибка и я не пойму, почему нельзя считать что, если например производительность первой машины выше на 5 чем производительность второй, то общая работа получится(если первую принять за x, а вторую за y) — (x)+(y-6)=….. Почему именно к «x» мы должны прибавлять 5, а не от «y» отнимать 5? Разве это ни одно и тоже?
Попробуй сформулировать свой вопрос еще раз. Я не поняла.
Свою проблему понял(пришлось задуматься), извините за беспокойство 🙂
вы уверены, что решени про эскаватор верно?
там должно быть (10+t)-5Z+11t=1
Попробуй еще раз.
Огромное спасибо за такие подробные объяснения!
Объясните какова вероятность решения системы из трех уравнений с четырьмя неизвестными? Я по поводу 4-ой задачи с тракторами. Решение данной системы уравнений это всего лишь частный случай.
Насчет вероятности сказать не могу — единственная рекомендация: ищите то, что требуется найти. Не нужно искать все неизвестные. Если в ответе требуется найти некую комбинацию неизвестных (например, отношение двух неизвестных), то ищите эту комбинацию, а не каждое неизвестное в отдельности.
здравствуйте Инна есть ли системы уравнений которые решаются способом замены,если есть напишите как решать
Да, разумеется, есть. Принцип тот же самый: если неизвестное (неизвестные) входит в состав уравнения в виде какого-то одинакового выражения, то это выражение принимается за новое неизвестное.