Решим задачу из Задания С2 для подготовки к ЕГЭ по математике:
На ребре 
правильной четырехугольной пирамиды 
с вершиной 
взята точка 
так, что 
. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую 
параллельно прямой 
, если 
.
1. Построим сечение.
Точки 
и принадлежат плоскости сечения, соединим их:
Точка 
- точка пересечения диагоналей основания пирамиды. 
- высота пирамиды. 
- точка пересечения высоты пирамиды и прямой :
Проведем через точку прямую 
, параллельную 
. Точка 
- точка пересечения этой прямой с ребром 
, а точка 
- с ребром 
:
Через пересекающиеся прямые и проведем плоскость. Четырехугольник 
- искомое сечение:
2. Найдем площадь четырехугольника .
Докажем, что его диагонали перпендикулярны. Опустим перпендикуляр из точки на основание призмы. Точка 
- основание перпендикуляра. 
- проекция наклонной . 
, так в основании нашей правильной пирамиды лежит квадрат, а диагонали в квадрате перпендикулярны. По теореме о трех перпендикулярах также перпендикулярна . Но || - по построению, следовательно, 
.
Найдем диагонали нашего сечения.
по трем сторонам, следовательно, 
- прямоугольный.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
получим: 
Чтобы найти длину отрезка , найдем, в каком отношении точка делит отрезок . Вынесем треугольник 
"со всем фаршем":
Проведем через точку прямую 
параллельно прямой 
и продолжим прямую до пересечения с ней. 
Треугольник 
подобен треугольнику 
, и 
. Обозначим 
, тогда 
:
Теперь рассмотрим подобные треугольники 
и 
:
. Следовательно, 
Рассмотрим треугольник 
, в котором || :
Треугольник 
подобен треугольнику
Следовательно, 
Итак, 
Ответ: 35
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Превосходно! Большое спасибо Вам!
В последней строке решения помарки в записях, всё перепутано)
Инна, небольшие погрешности при наборе. Треугольник PMQ, где подобие с треугольником АМО. И в последней строке множители из знаменателя надо поднять в числитель. С уважением Елена.
Последняя строчка: не KO, а KL. А в целом спасибо. Но задание на самом деле очень непростое, не хотелось бы, чтобы такое попалось на ЕГЭ. С4 хватит сполна, а тут еще С2 такого уровня.
Инна, огромное Вам спасибо, вы проделываете титаническую работу. Материал великолепный и так все понятно объяснено.
Думаю, что проще было бы так.В треугольнике АРС через О провести отрезок ОО1, параллельно АТ, по теореме Фалеса ОО1 — средняя линия в треугольнике АТС, значит ТО1=3х, РО1=4х. Треугольники РМТ и ОРО1 подобны и РМ:МО=1:4.
Да, спасибо
а вот как построить сечение параллелепипеда или куба? с пирамидой — то разобралась
Это смотря какое сечение. Сечения бывают разные.
Инна, огромное Вам спасибо. Вы так доступно все объясняете.