Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
04 Окт 2013
15 Задание (2022) (C4)ТРИГОНОМЕТРИЯ

Тригонометрические преобразования в геометрической задаче. Задание С4

Решим задачу:

Дан  равнобедренный треугольник  ABC. Угол C равен 100^{circ}. Внутри треугольника взята точка M так, что угол MAB=30^{circ}, угол  MBA=20^{circ}. Найдите углы  ACM и BCM.

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому углы при основании равны. Углы при основании равны {(180^{circ}-100^{circ})}/2=40^{circ}

Рассмотрим треугольники AMC и CMB и введем следующие обозначения:

Запишем теорему синусов для треугольников AMC и CMB и соотношение для углов alpha и beta

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x/{sin10^{circ}}=y/{sin({170^{circ}-{alpha}})}} {x/{sin20^{circ}}=y/{sin({160^{circ}-{beta}})}} {{alpha}+{beta}=100^{circ}}}}{ }

Разделим первое уравнение на второе и исключим x и y:

{sin20^{circ}}/{sin10^{circ}}={sin({160^{circ}-{beta}})}/{sin({170^{circ}-{alpha}})}

Выразим beta через alpha и упростим левую часть:

{2cos{10^{circ}}}={sin({160^{circ}-{(100^{circ}-{alpha})}})}/{sin({170^{circ}-{alpha}})}

Теперь нам из этого выражения нужно вытащить тригонометрические функции угла alpha.

Воспользуемся формулой синуса суммы, затем умножим обе части равенства на знаменатель правой части. Получим:

2cos{10^{circ}}(sin{170^{circ}}cos{alpha}-cos{170^{circ}}sin{alpha})=sin{60^{circ}}cos{alpha}+cos{60^{circ}}sin{alpha}

Раскроем скобки и перенесем выражения, содержащие cos{alpha} влево, а содержащие sin{alpha} вправо.

Получим:

2cos{10^{circ}}sin{170^{circ}}cos{alpha}-2cos{10^{circ}}cos{170^{circ}}sin{alpha}=sin{60^{circ}}cos{alpha}+cos60^{circ}sin{alpha}

2cos{10^{circ}}sin{170^{circ}}cos{alpha}-sin{60^{circ}}cos{alpha}=2cos{10^{circ}}cos{170^{circ}}sin{alpha}+cos{60^{circ}}sin{alpha}

cos{alpha}(2cos{10^{circ}}sin{170^{circ}}-sin{60^{circ}})=sin{alpha}(2cos{10^{circ}}cos{170^{circ}}+cos{60^{circ}})

Отсюда tg{alpha}={2cos{10^{circ}}sin{170^{circ}}-sin{60^{circ}}}/{2cos{10^{circ}}cos{170^{circ}}+cos{60^{circ}}}=={2cos{10^{circ}}sin{10^{circ}}-sin{60^{circ}}}/{2cos{10^{circ}}(-cos{10^{circ}})+cos{60^{circ}}}={sin{20^{circ}}-sin{60^{circ}}}/{-2cos^2{10^{circ}}+cos{60^{circ}}}

Добавим и вычтем 1 в знаменателе дроби:

tg{alpha}={sin{20^{circ}}-sin{60^{circ}}}/{-1-cos{20^{circ}}+cos{60^{circ}}}

Теперь, если бы не было -1 в знаменателе дроби, мы могли бы применить формулы преобразования суммы и разности в произведение, и посмотреть, что из этого получится. Но -1 мешает. Сделаем такой "финт ушами"

cos{60^{circ}}=1/2;

-1+cos{60^{circ}}=-1/2=-cos{60^{circ}}

Исходя из этого, перепишем дробь в таком виде:

tg{alpha}={sin{20^{circ}}-sin{60^{circ}}}/{-cos{20^{circ}}-cos{60^{circ}}}

Вынесем минус из знаменателя и преобразуем числитель и знаменатель по формулам преобразования суммы  и разности в произведение:

tg{alpha}={2sin{(-20^{circ})}cos{40^{circ}}}/{-2cos{40^{circ}}cos{20^{circ}}}=tg{20^{circ}}

Вот, собственно, и все. Отсюда получаем, что

{alpha}=20^{circ}; {beta}=80^{circ}

Ответ: ACM=20^{circ} и BCM=80^{circ}

 

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике
Купить видеокурс "ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и С1"

Для вас другие записи этой рубрики:

Тригонометрические преобразования в геометрической задаче. Задание С4
| Отзывов (9)

Отзывов (9)

  1. галина
    в 15:38

    Инна! В задаче надо найти углы или показать, как владеем тригонометрическими преобразованиями?
    Ответить
    • Инна
      в 15:47

      Вообще-то найти углы.
      Ответить
  2. Анна
    в 11:28

    Да, по-другому никак.
    Ответить
  3. Никита
    в 18:39

    Как мы из sin20/sin10 получили 2cos10 ?
    Ответить
    • Инна
      в 06:08

      sin20=2sin10cos10
      Ответить
  4. Владимир
    в 05:36

    Небольшое замечание. Решение слегка искусственное. Целенаправленно ищется тангенс угла, а из-за этого финт с -1 в знаменателе похож на преодоление успешно созданной ситуации. На мой взгляд, применение теоремы синусов к треугольникам AMB, AMC,BMC даёт выгодное уравнение sin(80+x)/sin(x)=1/2sin10 , где x-угол ACM. Откуда ctg(x)=ctg20, x=20 градусов.
    Ответить
    • Инна
      в 14:14

      Или так) Спасибо!
      Ответить
  5. Татьяна
    в 23:13

    У меня получились угол АСМ=40 градусов, угол ВСМ=60 градусов. Это правильно?
    Ответить
  6. Павел
    в 02:32

    Здравствуйте. Я нашёл чисто геометрическое решение задачи, в котором в большей степени используется только свойство равнобедренного треугольника. Предлагаю вам его найти. Если заинтересует моё решение, можно связаться со мной по e-mail. Желаю всего наилучшего
    Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *