Исследование функции и построение графика

Построение графика произвольной функции может быть как отдельной задачей, так и вспомогательной - например, при решении уравнений графическим способом, или при решении задач с параметрами.

Алгоритм исследования функции и построения ее графика таков:

1. Находим область определения (D(f)) функции .

2. Если область определения функции симметрична относительно нуля (то есть для любого значения из D(f) значение также принадлежит области определения, то проверяем функцию на четность.

Если , то функция четная. (Примером четной функции является функция )

Для нас важно, что график четной функции симметричен относительно оси OY.

Если , то функция нечетная. (Примером нечетной функции является функция )

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если функция является четной или нечетной, то мы можем построить часть ее графика для ,  а затем соответствующим образом отразить ее.

3. Находим точки пересечения графика с осями координат.

Находим нули функции - это точки пересечения графика функции с осью абсцисс (OX).

Для этого мы решаем уравнение .

Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью ОХ.

Находим точку пересечения графика функции с осью ординат (OY). Для этого ищем значение функции при .

4. Находим промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых функция сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции , нам нужно решить неравенства и .

5. Находим асимптоты графика функции.

Краткий экскурс на тему, что такое асимптоты и как их находить читайте здесь.

6. Если функция периодическая, то находим период функции.

7. Исследуем функцию с помощью производной: находим промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума.

Для этого мы следуем привычному алгоритму.

а) Находим производную

б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения - это стационарные точки.

в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых производная положительна, являются промежутками возрастания функции.

Промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции.

Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума.

Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума.

8. И последний номер наше программы - точки перегибы и промежутки выпуклости и вогнутости.

Подробнее о том, как находить точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости читайте здесь.

Итак, давайте, для примера, исследуем функцию и построим ее график.

1. Найдем D(y).

Сразу отметим, что при знаменатель дроби равен нулю, следовательно, прямые и являются вертикальными асимптотами графика функции .

2. Исследуем функцию на четность. Область определения функции симметрична относительна нуля (мы выкололи две симметричные точки: и )

Получили, что , следовательно, функция - нечетная, и график функции симметричен относительно начала координат.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.

а) Точки пересечения с осью ОХ (y=0)

б) Точка пересечения с осью ОY (x=0)

График нашей функции проходит через начало координат.

4. Найдем промежутки знакопостоянства.

Решим неравенство

Воспользуемся методом интервалов.

Найдем корни числителя и знаменателя, нанесем их на числовую ось и расставим знаки:

Корень числителя:

Корни знаменателя: ;

Расставим знаки:

Итак, при и

при и

5. Найдем асимптоты графика функции .

Вертикальные асимптоты мы уже нашли в  п.1, это прямые и .

Уравнение горизонтальной асимптоты функции имеет вид , где

.

Степень числителя дроби на единицу больше степени знаменателя, поэтому не существует, и график функции не имеет горизонтальной асимптоты.

Попробуем найти наклонную асимптоту.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

Коэффициенты и вычисляются следующим образом:

В нашем случае .

(Степень знаменателя на единицу больше степени числителя).

То есть уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

Нанесем асимптоты на координатную плоскость:

6. Найдем промежутки возрастания-убывания функции  и экстремумы.

а) Найдем производную функции

б) Приравняем производную к нулю:

(корень четной кратности); ;

Корни знаменателя -  - также корни четной кратности.

В корнях четной кратности производная знак не меняет.

в) Нанесем нули производной  и корни ее знаменателя на числовую ось, расставим знаки и найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания.

Итак, мы нашли промежутки возрастания и убывания.

Найдем значение функции в точках экстремума:

Заметим, что, поскольку функция нечетная, и мы нашли, что , мы могли бы сразу написать, что

Итак, отметим в нашей координатной плоскости точки минимума и максимума функции и точку пересечения графика функции с осями координат.

На рисунке ниже большими красными кружками обозначены точки, через которые проходит график функции.

Теперь учтем промежутки возрастания-убывания и промежутки знакопостоянства функции (п. 4) и построим  ее график. Помним, что график функции не пересекает абсциссы, он лишь приближается к ним!

После построения графика необходимо еще раз просмотреть все пункты исследования функции и проверить, соответствует ли полученный график всем пунктам.

Если наблюдается какое-то несоответствие, то необходимо повторить исследование и найти причину нестыковки графика и поведения функции.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.