Окружность. Касательная. Вписанные углы.
В этой статье мы рассмотрим решение некоторых прототипов задач из Задания 10 ОГЭ (ГИА) по математике (или Задания 6 ЕГЭ по математике).
Предлагаю вам решить эти задачи самостоятельно, а затем свериться с решением.
Вспомним свойства вписанного угла.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды, называется вписанным углом. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Угловая величина дуги измеряется величиной центрального угла, который опирается на эту дугу:
∠
∠
Важно: вписанные углы, опирающиеся на равные дуги равны между собой. В частности, вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.
Рассмотрим решение задач.
Решение.
показать
Рассмотрим треугольник 
:
, следовательно, треугольник - равнобедренный.
∠
∠
Угол 
и угол - вертикальные. Вертикальные углы равны.
∠
∠
Ответ: 104
Решение.
показать
Решение.
показать
Чтобы решить эту задачу нам нужно вспомнить два факта:
1. Вписанный угол, который опирается на диаметр равен 
. И наоборот, если вписанный угол равен , то он опирается на диаметр. Следовательно, гипотенуза 
прямоугольного треугольника 
является диаметром описанной около треугольника окружности, то есть
2. центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит в середине гипотенузы.
Найдем по теореме Пифагора гипотенузу :
Отсюда 
и 
Ответ: 2,5
Решение.
показать
∠
опирается на дугу 
. Найдем величину этой дуги.
∠
опирается на дугу 
. Вписанный угол равен половине величины дуги, на которую он опирается, следовательно, 
.
диаметр окружности, следовательно, угловая величина дуги 
Отсюда 
Тогда ∠
Ответ: 54
Решение.
показать
Решение.
показать
Проведем диагональ ромба 
. Отрезки 
являются радиусами окружности, поэтому 
.
Стороны ромба равны между собой, поэтому треугольники 
и - равносторонние, и все углы этих треугольников равны 
:
Следовательно, ∠
Ответ: 120
Решение.
показать
Вспомним свойства касательных.
1. Отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки равны между собой. То есть 
2. Радиус окружности, проведенный к точке касания перпендикулярен касательной.
То есть ∠
∠
:
Получаем, что∠
∠
Найдем ∠. Для этого рассмотрим равнобедренный треугольник 
.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны и сумма углов треугольника равна 180 градусов:
Отсюда ∠
Следовательно, ∠
Ответ: 36
Решение.
показать
Длина дуги пропорциональна величине центрального угла, который на нее опирается.
Центральный угол, который опирается на большую дугу равен 
Пусть длина большей дуги равна 
.
Составим пропорцию:
отсюда
Ответ: 441
Решение.
показать
Для решения это задачи нам понадобится еще одна теорема:
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. То есть 
Найдем 
.
Следовательно,
Отсюда 
Ответ: 40
Решение.
показать
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. То есть 
Пусть радиус окружности равен . Тогда 
Получаем уравнение:
Ответ: 75
Решение.
показать
Радиус окружности, проведенный к точке касания перпендикулярен касательной. Хорда параллельна касательной, следовательно, перпендикулярна 
.
Нам нужно найти длину .
Найдем 
. Для этого рассмотрим треугольник . 
, то есть этот треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота 
является медианой, то есть 
найдем по теореме теореме Пифагора из прямоугольного треугольника 
:
Ответ: 160
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
∠
∠
:
, следовательно, треугольник 
∠
и угол 
∠
∠
∠
:
и ∠
, поэтому ∠
∠
:
∠
∠
. И наоборот, если вписанный угол равен 
прямоугольного треугольника 
является диаметром описанной около треугольника окружности, то есть
и 
опирается на дугу 
. Найдем величину этой дуги.
опирается на дугу 
. Вписанный угол равен половине величины дуги, на которую он опирается, следовательно, 
.
диаметр окружности, следовательно, угловая величина дуги 
опирается на ту же дугу, что и вписанный угол 
∠
и рассмотрим треугольник 
в сумме с углом 
( так как они смежные), следовательно, ∠
и равен сумме двух углов, не смежных с ним.
∠
. Отрезки 
являются радиусами окружности, поэтому 
.
и 
:
∠
:
∠
.
.
.
.
. Для этого рассмотрим треугольник 
, то есть этот треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота 
является медианой, то есть 
:
к задаче 324676: треугольник АОВ равнобедренный, угол ОВА равен углу ОАВ значит угол СВО равен 75-43=32 из треугольника ВОС угол ВСО равен углу ОВС и равен 32
Спасибо.