Задание 16 из Досрочного ЕГЭ

Решим задание 16 из Досрочного ЕГЭ по математике.

В кубе   все ребра равны 5. На ребре отмечена точка так, что . Через точки и проведена плоскость , параллельная прямой .

1. Докажите, что , где - точка пересечения плоскости с ребром .

2. Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью .

1. Построим сечение.

Соединим отрезком точки и . Так как эти точки принадлежат плоскости сечения, следовательно отрезок принадлежит плоскости сечения.

Проведем через точку прямую, параллельную прямой . Мы знаем, что если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Проведем диагональное сечение . Прямая принадлежит плоскости этого сечения:

В плоскости через точку проведем прямую , параллельную  - это линия пересечения плоскости и искомой плоскости . Точка принадлежит верхней грани куба:

Проведем прямую через точки и  до пересечения с ребром . Получим точку . Соединим ее с точкой  и получим сечение куба:

2. Докажем, что . Нанесем данные задачи на чертеж:

Так как , (По теореме Фалеса)

Сделаем выносной чертеж верхнего основания куба:

Треульники и подобны по двум углам. Следовательно, , то есть , соответственно, . Получили

Что и требовалось доказать.

3. Найдем объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью .

Очевидно, что это часть куба, которая расположена под плоскостью . Она получится, если отрезать от куба пирамиду :

Найдем объем пирамиды  :

Объем куба равен

Объем части куба, расположенной под плоскостью равен

Ответ:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.