В этой статье мы разберем решение геометрической задачи из Задания 16 ЕГЭ по математике.
Две окружности с радиусами 2 и 6 касаются в точке А. Прямая 
касается первой окружности в точке 
и пересекает вторую в точках 
и 
. Найти длину 
, если 
.
Решение.
Предварительный чертеж:
Предположим, что окружности касаются внутренним образом:
Так как , то есть больше диаметра окружности, следовательно, точка не может лежать внутри окружности. То есть этот вариант нам не подходит.
Рассмотрим второй вариант, когда окружности касаются внешним образом: 
В этом случае длина может быть больше диаметра.
Осталось выяснить, как расположены точки и .
Если точки и поменять местами, то радиус первой окружности должен будет быть гораздо больше двух. Поэтому этот вариант нас тоже не устроит.
Остается тот вариант, который изображен на рисунке.
Пусть точка 
- центр меньшей окружности, а точка 
- большей. Проведем через эти точки прямую до пересечения с большей окружностью (точка 
):
Из прямоугольного треугольника 
(радиус 
, проведенный к точке касания перпендикулярен касательной ) найдем 
:
Теперь рассмотрим треугольники 
и 
:
Треугольник - прямоугольный (вписанный угол опирается на диаметр)
Введем обозначения: пусть 
:
Тогда 
Запишем теорему косинусов для треугольника :
Ответ: 
касается первой окружности в точке 
и пересекает вторую в точках 
и 
. Найти длину 
, если 
.
Добавить комментарий