Тригонометрическая замена в иррациональном уравнении

Тригонометрическая замена  в иррациональном уравнении

Мы привыкли делать замену в тригонометрическом уравнении в том случае, если с помощью замены оно сводится а алгебраическому уравнению, например, к квадратному. Но бывают ситуации, когда, наоборот, удобно ввести тригонометрическую замену. Сигналом для такой замены является тот факт, что областью допустимых значений переменной является промежуток  или ,  или

Решим иррациональное уравнение с помощью введения тригонометрической замены:

Найдем ОДЗ этого уравнения:

Введем замену: . В то время, как пробегает значения от до ,  пробегает значения от -1 до 1.

Получим уравнение:

Так как , , следовательно, модуль можно раскрыть с тем же знаком.

Так как   не является корнем исходного уравнения, . Разделим обе части уравнения на .

Получим

Умножим обе части уравнения на

Теперь можно ввести привычную замену: , получим уравнение третьей степени относительно :

Заметим, что сумма коэффициентов при четных степенях равна сумме коэффициентов при нечетных степенях: 1+1=3-1.

Следовательно, корнем этого уравнения является число .

Разделим многочлен  на двучлен с помощью схемы Горнера.

Получим: 

Корни квадратного трехчлена во второй скобке:

Вернемся к котангенсу.

Получим

, следовательно, , и

. Найдем . Заметим, что знаки  и  на промежутке  одинаковые.

Выражение .

. Найдем .

Выражение .

Ответ: 

2 способ.

Если вспомнить формулу косинуса тройного угла: , то можно увидеть, что если мы введем замену: (), то в правой части уравнения получим

Тогда уравнение примет вид:

На промежутке  , получаем уравнение:

;

Отсюда:

(1) или  (2)

Из второго уравнения получаем , из этой серии решений промежутку принадлежит только точка . Тогда

Из второго решения получаем . Из этой серии решений промежутку принадлежат точки  и 

.

Ответ: