Ортоцентр треугольника: полезные факты

Ортоцентр треугольника: полезные факты

В этой статье доказываются некоторые факты, касающиеся точки пересечения высот треугольника (ортоцентра треугольника), которые могут быть весьма полезны при решении задач.

Пусть - точка пересечения высот треугольника ,  - центр описанной окружности.

Тогда:

1) радиусы окружностей, описанных около треугольников , , и равны;

2) расстояние от вершины до точки  вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны ;

3) расстояние между серединами отрезков и равно радиусу описанной окружности треугольника ;

4) ;

5)  точки, симметричные точке  относительно прямой  и относительно середины стороны , лежат на описанной окружности треугольника .

Доказательство.

1) Радиусы окружностей, описанных около треугольников , , и равны.

Радиус окружности, описанной около треугольника можно найти по формуле:

, где - произвольная сторона треугольника, а - величина противолежащего угла.

Для треугольника   радиус описанной окружности

Рассмотрим четырехугольник : по свойству вертикальных углов. 

Тогда для треугольника  радиус описанной окружности , то есть равен радиусу описанной окружности треугольника .

2) Расстояние от вершины до точки  вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны .

Докажем, что , где - центр описанной окружности, а - основание серединного перпендикуляра, опущенного из точки  на сторону . (Вспомним, что центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.)

Пусть точка   симметрична точке  относительно отрезка .

Рассмотрим треугольник . 

Из соображений симметрии , следовательно, .

Так как расстояние от точки до точек и равно радиусу окружности, описанной около треугольника , и мы только что доказали, что радиус окружности, описанной около треугольника также равен , следовательно, точка  - центр окружности, описанной около треугольника , и . 

Проведем окружность с центром в точке , описанную около треугольника :

Мы видим, что при параллельном переносе на вектор  окружность с центром в точке  переходит в окружность c центром в точке , и точка   переходит в точку , следовательно, . Но так как , получили, что .

Что и требовалось доказать.

3) Расстояние между серединами отрезков и равно радиусу описанной окружности треугольника .

Рассмотрим четырехугольник .

Мы доказали, что . Кроме того, по доказанному выше, . Следовательно, этот четырехугольник  - параллелограмм. Точка - середина отрезка , является также серединой отрезка . Следовательно, отрезок, соединяющий точку  с точкой - серединой отрезка , параллелен отрезкам  и и равен им:

.

Что и требовалось доказать.

4)

Используем доказанные выше факты.

Четырехугольник   - ромб, следовательно, по правилу параллелограмма для сложения векторов получаем :

Далее, четырехугольник   -параллелограмм, следовательно,  .

Утверждение доказано.

5)  Точки, симметричные точке  относительно прямой  и относительно середины стороны , лежат на описанной окружности треугольника .

Пусть точка  симметрична точке  относительно прямой :

Точка симметрична точке относительно прямой . Следовательно, окружность с центром в точке  симметрична окуржности с центром в точке . Точка лежит на окружности с центром в точке  (см. п. 2), следовательно, симметричная ей относительно прямой точка  симметричной окружности с центром в точке , то есть описанной около треугольника .

Пусть точка  симметрична точке  относительно относительно середины стороны :

Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, , и точка  лежит на окружности, описанной около треугольника  .

Утверждение доказано.

И. В. Фельдман, репетитор по математике.