Решение.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Получим систему:
первое уравнение:
:
Второе условие:
Заметим, что 
, поэтому 
:
Остался единственный корень: 
б) Отберем корни, принадлежащие отрезку [
]:
Мы видим, что отрезку [] принадлежит корень 
:
Ответ: а) 
б)
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Решение.
Построим сечение.
- Проведем прямую №1 (
) параллельно 
.
Через точку 
проведем прямую №2 (
) параллельно 
.
Через точку 
проведем прямую №3 (
) параллельно .
Получили сечение - четырехугольник 
:
Данное сечение удовлетворяет всем условиям задачи:
-
- по построению, следовательно 
(по теореме о параллельности прямой и плоскости).
-
- по построению, следовательно 
(по теореме о параллельности прямой и плоскости).
Докажем, что четырехугольник - прямоугольник.
, так как - линия пересечения плоскости 
и плоскости 
, , следовательно линии пересечения плоскости сечения с плоскостями и (соответственно 
и ) параллельны.
, так как и параллельны . Следовательно, противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны и он является параллелограммом.
Докажем, что 
. Проведем высоту 
пирамиды:
Вершина правильной пирамиды проецируется в точку 
, ортоцентр основания, то есть в точку пересечения медиан, высот и биссектрис треугольника .
, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах 
. 
, 
, следовательно .
Найдем длины сторон прямоугольника .
(из подобия треугольников 
и 
)
; 
(из подобия треугольников 
и )
; 
Ответ: 4,5.
].
лежит треугольник 
со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 4. Через такую точку ребра 
, что 
, параллельно прямым 
и 
проведена плоскость.
Правильный ли ответ в 13 задании Б) -6П+arcsin3/5
Это запрещенный корень
В задаче 14 то,что в доказательстве понятно учителю для школьника может оказаться препятствием. Я имею в виду углы между непересекающимися прямыми в 3-х мерном пространстве. Мне кажется, что опускать высоту из Д надо в треугольнике АДС непосредственно на сторону АС . С малолетства все помнят, что в равнобедренном тр-ке высота является и медианой, а значит медиана ВN треугольника АВС будет также и высотой,т.е. перпендикулярна этой же стороне АС. И такая картинка более соответствует условию теоремы о трех перпендикуляра, чем приведенная выше. Ну и некоторым ученикам проще увидеть, что BM=BL , и значит
тр-к MBL подобен АВС , отсюда и параллельность ML и AC .
Спасибо, Николай!
Уважаемая Инна, Ваши решения, уже традиционно подробны понятны и пр. Несколько непринципиальных соображений. По №13. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель, при этих значениях х существует и не равен нулю («существует» особенно актуально для корней, логарифмов и пр). Также мне интересно узнать, как Вы объясняете неиспользование (-1)^n. Я тоже этого стараюсь избегать, особенно в случае, когда n=0.
В задаче 14 я занудно напоминаю ученикам, что доказательство перпендикулярности осуществляется с привлечением обратной т. Пифагора или теоремы о 3-х перпендикулярах. Второе соображение точно описал Николай в отзыве от 13.03.
В заключение, хочу подчеркнуть/отметить замечательное и понятное графическое оформление — это Эталон.
С Уважением, Михаил.
Михаил, спасибо за замечание)
(-1)^n я не использую принципиально, так как это затрудняет и выборку решений, и решение тригонометрических неравенств, и нахождение корней в случае, если аргументом является выражение с х, например, как в простейших триг. уравнениях из задания 5. Запись двух серий решений гораздо лучше отражает «физический смысл».
Ок, но, позанудствую, моё письмо не содержит замечаний, только положительные впечатления и обмен соображениями.
С Уважением, Михаил.
Михаил, теперь я позанудствую: слово «замечание» от «замечать». Я не придаю ему негативную коннотацию). Я вам благодарна, что вы заметили и отметили)