В этой статье мы выведем общую формулу для решения экономических задач, условие которых предполагает погашение задолженности по кредиту с использованием дифференцированного платежа.
Дифференцированный платеж – это способ погашения кредита, при котором заемщиком выплачивается основная сумма займа («тело кредита») равными частями, а начисление процентов осуществляется только на остаток задолженности в каждый конкретный момент времени.
Если в задаче присутствуют слова "равными частями", или "долг уменьшается на одну и ту же величину" , то, скорее всего, речь идет о дифференцированном платеже.
Отметим, что в этом случае платежи отличаются между собой.
Внимание! Следует отличать эти задачи от тех, в которых долг отдается равными платежами.
Пусть заемщик взял в кредит 
рублей на 
лет при годовой процентной ставке, равной 
%.
В случае дифференцированного платежа ежегодный платеж состоит из двух частей и равен
1) 
- часть долга, выплачиваемая ежегодно. Это та составляющая ежегодной выплаты, которая остается постоянной.
2) Проценты на оставшуюся часть долга. Это составляющая ежегодного платежа, которая меняется с каждой выплатой и зависит от порядкового номера этой выплаты.
В первый год выплата процентов по кредиту равна 
,
во второй - 
в третий - 
Выплата процентов по кредиту в 
- ый год равна 
.
Тогда общий платеж в первый год равен 
Во второй: 
В - ый: 
Выплаты по процентам представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, в которой 
Суммарно выплаты по процентам равны:
Сумма слагаемых в скобках находится по формуле суммы членов арифметической прогрессии:
В итоге, если клиент берет в кредит рублей на лет при годовой процентной ставке, равной %, то при дифференцированном платеже он выплатит за лет всего
рублей.
В этом случае переплата банку составляет 
рублей или 
процентов (считаем, сколько процентов составляет переплата от суммы долга, для этого сумму переплаты делим на сумму долга и умножаем на 100%).
Например, если клиент берет ипотеку на квартиру 10 млн руб. сроком на 20 лет под 10% годовых (фантастически низкий процент), то по истечении этого срока он заплатит за квартиру:
млн. руб. То есть сумму, более чем в два раза превышающую сумму кредита.
Решим задачу:
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
Решение.
По условию задачи процентная ставка 
% годовых.
Пусть кредит взят на лет. Наибольший годовой платеж будет в первый год, когда невыплаченный остаток максимальный, он равен сумме, взятой в кредит. Годовой платеж в первый год равен 
млн руб.
По условию наибольший годовой платеж равен 9 млн руб.
Получаем уравнение:
Следовательно, кредит взят на 14 лет.
Тогда общая сумма выплат равна 
млн руб.
Ответ: 
млн руб.
И.В. Фельдман, репетитор по математике
Огромное спасибо!
Ирина, добрый день! А где в условии задачи указано, что это «Дифференцированный платеж» и проценты начисляются и выплачиваются после выплат по основному телу кредита? Вопрос возник потому что, например, у Ященко нигде не указывается, что это «Дифференцированный платеж», а без этого можно считать, что сначала идет выплата включающая проценты, потом на остаток накручиваются новые проценты и т.д. и в результате другой результат. Если можно, продублируйте ответ мне на e-mail
Юрий, а вот нигде не сказано. Я сама долго втыкала, как это равными платежами, если начисляются проценты. Путаются понятия — долг как сумма, взятая в кредит, и долг как сумма, которую клиент должен отдать с процентами.
В задаче есть слова в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. — это как раз про диф. платеж
Где-то в статье указано r% в год, где-то выплаты в первый год, но как я понял, все это и выплаты и проценты относятся к месяцу, а не к году.
Спасибо.
В статье речь идёт о годах, а в решении написано 14 месяцев. Исправьте опечатку, пожалуйста. А вообще статья хорошая и по делу.
Я подобный материал для своих учеников использую, сам репетитор.
Спасибо, исправила.
Огpомное спасибо. Вы облегчили мою ученический жизнь!
Добрый вечер! У меня вопрос, а если в задаче дано, что после выплаты долг будет на определенную сумму (например 50000) меньше предыдущего долга, то схема решения будет отличаться от задачи, где было бы просто сказано, что долг отличается на одну и ту же сумму? Или никак не влияет?
Не будет, если еще в условии сказано, после каждой выплаты долг уменьшается НА ОДНУ И ТУ ВЕЛИЧИНУ. Признак того, что речь идет о дифференцированном платеже именно эти слова: «после КАЖДОЙ выплаты долг уменьшается НА ОДНУ И ТУ ВЕЛИЧИНУ».
Здравствуйте! Мне очень понравилось ваше объяснение, но тем не менее хотелось бы спросить:в ЕГЭ все таки можно использовать эту формулу для подобных задач:
Перепл.= ((n+1)/200)*r*S
?
Разные источники давали разные ответы, а с этой формулой все же иногда бывает намного быстрее и проще.
Буду очень благодарна за ответ.
Опыт последнего ЕГЭ показывает, что использование готовых формул может привести к ошибке. Так что лучше все-таки выводить формулу в процессе решения задачи.