Задание 16. Точка 
- середина отрезка 
. На отрезках и 
, как на диаметрах, построены две окружности. Хорда 
одной из них касается другой окружности в точке 
.
а) Докажите, что 
.
б) Найдите площадь треугольника 
, если известно, что 
.
Решение.
показать
а) Докажем, что левая и правая части равенства равны одной и той же величине.
, 
- по условию.
- по теореме о вписанном угле.
Обозначим на чертеже одинаковые отрезки одинаковым буквами.
Из прямоугольного треугольника 
Итак, 
. Найдем 
Воспользуемся формулой 
Так как 
- острый угол, 
То есть 
Далее. Из прямоугольного треугольника 
Тогда 
Следовательно, . Утверждение доказано.
б) Найдем площадь треугольника .
Треугольник подобен треугольнику по двум углам, 
, следовательно, 
Найдем площадь треугольника .
По условию 
, 
Тогда 
И 
Ответ: 
И.В. Фельдман, репетитор по математике
- середина отрезка 
. На отрезках 
, как на диаметрах, построены две окружности. Хорда 
одной из них касается другой окружности в точке 
.
.
, если известно, что 
.
Отрезок AP является биссектрисрй угла KAC, а значит можно применить свойство биссектрисы угла треугольника для доказательства первого пункта. Получается намного короче.
Да, можно так. Спасибо!