Задание 16. Прямая, проходящая через вершину 
прямоугольника 
, перпендикулярна диагонали 
и пересекает сторону 
в точке 
, равноудаленной от вершин и 
.
Решение.
а) 
, треугольник 
- равнобедренный, следовательно, 
;
как накрест лежащие;
треугольник 
- равнобедренный (по свойству диагоналей прямоугольника), следовательно, 
- из прямоугольного треугольника 
по свойству высоты прямоугольного треугольника.
Отсюда 
.
б) Из прямоугольного треугольника 
: 
Из прямоугольного треугольника 
: 
.
Найдем расстояние от точки 
до точки 
с помощью метода координат. Введем систему координат и запишем координаты точек:
Tочка - середина отрезка , координаты точки 
.
Нам нужно найти расстояние от точки до прямой 
.
Расстояние от точки 
до прямой, заданной уравнением 
можно найти по формуле:
Найдем уравнение прямой .
Для произвольной точки 
, принадлежащей прямой, проходящей через точки 
и 
выполняется соотношение:
Получили уравнение прямой , здесь 
Тогда:
Ответ: 3.
прямоугольника 
, перпендикулярна диагонали 
и пересекает сторону 
в точке 
, равноудаленной от вершин 
.
и 
делят угол 
, если 
.
Спасибо, Инна! Интересное решение. А я через подобие.
Да, можно было через подобие, но этой формулой редко пользуются, хотелось ее напомнить.
Добрый день, Инна!
Я решал через подобие.
В принципе, не очень сложно, так как все углы 30 или 60.
Да, можно через подобие, но хотелось эту формулу активизировать.
Можно было найти ОК как высоту в треугольнике ОМС, предварительно вычислив площадь ОМС = АСD — AOM — MCD.