Задание 16 из т/р 201 А. Ларина
Дана окружность. Продолжения диаметра 
и хорды 
пересекаются под углом 
в точке 
. Известно, что 
; 
пересекает 
в точке 
.
А) По условию . Пусть 
.
Отметим на чертеже все, что следует из условия задачи:
- как опирающиеся на диаметр.
как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Пусть 
.
как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Пусть 
.
По свойству внешнего угла треугольника 
- внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.Тогда 
. (1)
Далее. По свойству углов вписанного четырехугольника 
;
(как смежные углы).
Отсюда 
. Кроме того, 
как вертикальные.
Кроме того, из прямоугольного треугольника 
получаем 
. Тогда 
:
По теореме синусов из треугольника 
получаем:
;
;
Из прямоугольного треугольника 
Отсюда 
(2)
Теперь найдем отношение 
.
Из треугольника 
Из треугольника 
Из (1) 
Из (2) 
.
Тогда 
. (3)
Следовательно (из (2) и (3)), 
(4)
Ч.Т.Д.
Б) Найдем площадь четырехугольника 
, если радиус окружности равен 4.
(из треугольника )
(из треугольника 
)
(из треугольника 
и п.А)
Найдем 
(из (4))
Тогда 
(5)
Из (1) получаем:
(6)
Сложим (5) и (6), получим:
Отсюда
Ответ: 
и хорды 
пересекаются под углом 
в точке 
. Известно, что 
; 
пересекает 
в точке 
.
и 
, если радиус окружности равен 4.
Добавить комментарий