Задание 16 из Досрочного ЕГЭ по математике 28.03.2016

Пусть. По условию. Так как треугольник - равнобедренный,

Тогда :

Так как - центральный, а угол  вписанный, по свойству вписанного угла получим равенство:

, отсюда ,  и 

а) Точка лежит на окружности, описанной около треугольника , если . (Так как геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом есть дуга окружности, концами которой являются конца отрезка).

Докажем, что .

Продолжим высоту до пересечения с окружностью, описанной около треугольника . Обозначим эту точку :

По свойству ортоцентра треугольника, точка симметрична точке относительно стороны , поэтому . Четырехугольник вписан в окружность, сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна , поэтому 

Отсюда . Первое утверждение доказано.

б) Докажем, что точка , центр вписанной окружности треугольника   также лежит на окружности, описанной около треугольника .  Докажем, что угол  также равен :

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, поэтому

Тогда

Итак, мы выяснили, что точки лежат на окружности, описанной около треугольника , .

Найдем угол , при условии, что  .

.

Выясним, в каком порядке расположены на окружности точки . Для этого найдем величины углов - чем больше угол, тем длиннее соответствующая хорда и дальше расположена соответствующая точка от вершины . 

Следовательно, точки расположены именно так, как указано на рисунке.

Вписанный угол и вписанный угол опираются на одну хорду , следовательно, они равны.

Отсюда 

Ответ: