В этой статье мы рассмотрим решение задачи по планиметрии из ДВИ в МГУ, 2015 г.

Задание 5 ДВИ МГУ, 2015
По теореме о касательной и секущей
.

Отсюда
. По условию
, тогда 
По теореме синусов:


Отсюда 

Внимание! Это тонкое место задачи: в этом месте мы получаем два случая:
1)
- угол
- острый. Треугольник с острым углом
изображен на рисунке.
ИЛИ
2)
- в этом случае угол
- тупой.
Найдем
:


Рассматриваем два случая:
1) 

2) 

Таким образом, 
Снова воспользуемся теоремой синусов и выразим через
сторону
:

(1)
Осталось найти, чему равен
.
Докажем, что точка
- центр описанной окружности треугольника
.

Задание 5 ДВИ МГУ, 2015
, как радиусы окружности, и треугольник
- равнобедренный.
Опустим перпендикуляр
на
. По свойству равнобедренного треугольника
.
Тогда
по двум катетам, отсюда
.
Далее, по свойству касательной
. По условию
, то есть высота треугольника
является его медианой, следовательно треугольник
- равнобедренный и
.
Мы получили, что
и точка
- центр описанной окружности треугольника
.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
получим: 
Третий раз воспользуемся теоремой синусов:






Подставим
в формулу (1):

Ответ: 
Добавить комментарий