В этой статье вы найдете пошаговое решение 8 задачи из ДВИ в МГУ 2016.
Найдите наименьшее значение выражения
и все пары 
, при которых оно достигается.
Решение. показать
Вынесем показатель степени за знак логарифма. Так как (по ОДЗ) 
получим:
Выделим под каждым корнем полный квадрат:
Введем замену переменной:
Тогда 
Тогда исходное выражение приобретает такой вид:
(1)
Мы видим под корнем сумму квадратов двух выражений. Квадратный корень из суммы квадратов имеет геометрическую интерпретацию.
Пусть на координатной плоскости Oxy даны две точки 
и 
. Расстояние между этими точками вычисляется по формуле
То есть выражение (1) можно интерпретировать как сумму длин трех отрезков.
Вспомним неравенство треугольника: сторона треугольника меньше суммы двух других.
Для трех произвольных точек это неравенство становится нестрогим, и выполняется равенство, если три точки лежат на одной прямой:
Неравенство треугольника, сформулированное для векторов, звучит так:
сумма длин двух векторов не меньше длины вектора, равного сумме этих векторов.
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда вектора сонаправлены.
Вектора 
и 
сонаправлены, если их координаты пропорциональны. То есть если выполнено условие:
Длины векторов соответственно равны:
Вернемся к выражению
Первый корень мы можем рассматривать как длину вектора 
, где точка 
имеет координаты 
, а координаты точки 
. (Заметим, что точка 
может иметь координаты 
)
Второй корень мы можем рассматривать как длину вектора 
, где точка 
имеет координаты 
, а координаты точки 
. (Или 
Третий корень мы можем рассматривать как длину вектора 
, где точка 
имеет координаты 
, а координаты точки 
. (Или 
.
В этом случае мы получим такую картинку (пусть 
):
При таком расположении векторов нам не удастся найти значения 
и 
так, чтобы вектора были сонаправлены. Поскольку мы можем некоторым образом варьировать их расположение, рассмотрим такую конфигурацию (здесь вектора "смотрят в одном направлении"):
Итак, координаты векторов 
должны быть пропорциональны.
Получим систему уравнений:
Отсюда 
Вернемся к исходной переменной:
.
Отсюда 
, при условии 
Эти условия выполняются если 
Отсюда 
Значение выражения равно
Ответ: 
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Браво! Браво! Браво! Я по-поводу решения 8-й задачи ДВИ 2016. Бааааалшое спасибо! Я никак не мог сообразить как направить вектора. А у Вас все просто и понятно.
У меня было много времени, чтобы подумать)
Вообще автор такого решения сам толком не понимает, что говорит. На самом деле схема решения следующая: Берём 4 точки А(-5;-9), В(m;0), c(n+1;2), D(4;9). Тогда АВ=√(m+5)²+81. BC=√(n+1-m)²+4. CD=√(n-3)²+49. Длина ломаной ABCD наименьшая, если ABCD=AD. Далее так же находятся n и m из условия одинакового направления отрезков AB, BC и CD. Концовка решения такая же.
К сожалению, предложенное решение не полно: разобран только один из случаев, когда векторы сонаправлены. Но можно показать, что таких случаев не один (можно предложить и другие наборы m,n, при которых векторы сонаправлены, хотя чертёж другой), и то, что предложенный в приведенном решении случай даёт верный ответ — вообще говоря, случайность.
Здравствуйте,хотелось бы уточнить почему вы от суммы длин трех отрезков,в результате сложения которых надо получить минимум ,переходите именно к треугольнику
Я не перехожу к треугольнику, а использую неравенство треугольника.
Замечание Владимира легко устранить, дополнив в предложении «… n и m не могут быть найдены, т.к. при рассмотрении других аналогичных систем линейных уравнений надо учитывать требования ОДЗ, а именно, полученные значения n и m должны быть одного знака»