ДВИ в МГУ, 14.07.2017. Вариант 2, задачи 1-4
Задача 1. Какое число больше: 
или 
?
Решение. показать
По теореме о сумме двух взамнообратных положительных чисел 
. Тогда 
, следовательно, 
.
Ответ: первое число больше.
Задача 2. Известно, что 
и 
. Найдите 
.
Решение. показать
Задача 3. Решите уравнение: 
.
Решение. показать
Будем решать уравнения с помощью разложения обеих частей на множители.
Применим формулу преобразования суммы косинусов в произведение:
Правую часть разложим на множители по формуле синуса двойного угла:
Перенесем все влево и вынесем за скобки 
Отсюда
(1)
или 
(2)
(1)
(2)
Применим формулу преобразования разности косинусов в произведение:
Отсюда
(3) или 
(4)
(3) 
(4) 
Ответ: 
Задача 4. Решите неравенство 
.
Решение. показать
ОДЗ: 
Введем замену переменной: 
Получим неравенство:
Разложим левую часть на множители:
Вернемся к исходной переменной:
Применим метод интервалов. Приравняем каждый множитель к нулю.
или 
Отсюда
или 
или 
Отсюда
или 
Нанесем корни на числовую ось, и отметим, что корень - четной кратности.
Определим знак выражения 
при 
Определим знак выражения 
Так как 
, выражение во второй скобке так же положительно.
Расставим знаки. Нас интересует, где выполняется условие меньше, ИЛИ РАВНО нулю:
Ответ: {
}; 
.
И.В. Фельдман, репетитор по математике
или 
?
и 
. Найдите 
.
.
.
В задаче 1 ДВИ «По теореме о сумме двух положительных взаимообратных чисел…. больше 2» семерку мож быть зачеркнуть.
Конечно, спасибо!