ДВИ МГУ 18.07.2018 (задания 1-4)
1. Какое из чисел 
и 
ближе к 2?
Решение. показать
2. Найдите все значения параметра 
, при которых разность между корнями уравнения 
максимальна.
Решение. показать
Разность между корнями квадратного уравнения можно понимать как расстояние между ними на числовой прямой.
То есть нам нужно найти, при каком значении параметра расстояние между корнями квадратного уравнения максимально.
Расстояние между корнями квадратного уравнения равно 
.
Для нашего уравнения 
Так как функция 
- возрастающая, функция 
принимает максимальное значение в той же точке, в которой принимает максимальное значение подкоренное выражение.
Рассмотрим функцию 
и исследуем ее на максимум - минимум.
Приравняем производную к нулю и исследуем знаки:
;
Мы видим, что функция 
имеет максимум при 
.
Ответ: .
3. Решите уравнение 
Решение. показать
Применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму:
Получим:
Отсюда получаем:
или 
или 
или 
, 
.
Ответ: 
4. Решите неравенство 
Решение. показать
Заметим, что неравенство содержит сопряженные выражения: 
и 
.
В этом случае, воспользовавшись формулой разности квадратов, можно одно выражение выразить через другое:
, отсюда 
Тогда получим:
Так как 
, при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется. Получаем:
Переносим все слагаемые влево и приводим к общему знаменателю.
Легко проверить, что 
, 
отсюда 
. Умножим обе части неравенства на это выражение, не забыв изменить знак неравенства:
Введем замену: 
Получим неравенство относительно переменной 
:
Корни числителя: 
Корень знаменателя: 
.
Нанесем корни на числовую ось и расставим знаки:
Отсюда 
или 
.
Вернемся к исходной переменной:
;
или
Ответ: 
U
И.В. Фельдман, репетитор по математике
и 
ближе к 2?
, при которых разность между корнями уравнения 
максимальна.
0) Спасибо за сайт.
1) К задаче 2. Если без производной: Значение корня, если он в вещественной области существует, достигает наибольшего значения тогда же, когда и его подкоренное выражение.
Так как биквадратный многочлен
p^2-12p^4
можно рассматривать как квадратичное выражение относительно неотрицательной переменной p^2, то его максимум достигается в точке «-b/(2a)», то есть при p^2/24.
2) В решении опечатка: f(p) и f'(p) не соответствуют друг другу. Исправьте, пожалуйста.
Большое спасибо. Исправила.
А почему корень из 6 минус корень из 5 меньше 1?