ДВИ МГУ 18.07.2018 (задание 6, параметры)

Если у условии задачи требуется найти, при каких значениях параметра система имеет ровно одно решение, то, скорее всего, здесь требуется найти инвариант, то есть некие два выражения, такие, что при замене одного выражения на другое система не изменится.

Преобразуем неравенства системы. В левой части каждого неравенства выделим полный квадрат.

Теперь система принимает такой вид:

   

Ведем замену переменной:

Тогда

Относительно новых переменных система примет такой вид:

   

   

Теперь мы видим, что если в систем заменить на , то система не изменится. Это значит, что если пара является решение системы, то пара  также будет ее решением.

Значит, чтобы система имела единственное решение должно выполняться равенство .

Заменим в системе  на и получим систему, состоящую из двух одинаковых неравенств:

   

Теперь найдем, при каких значениях параметра  эта система имеет единственное решение. То есть нам надо найти, при каких значениях параметра неравенство имеет единственное решение. Это неравенство имеет единственное решение, если ветви параболы направлены вниз и дискриминант квадратного трехчлена в левой части неравенства равен нулю:

;

Отсюда или . Учитывая условие , остается значение .

Мы нашли это значение параметра исходя из условия, что . Осталось проверить, что при этом значении  исходная система имеет единственное решение. Подставим  в систему .

Получим:

   

Разделим оба неравенства на :

   

Сложим неравенства системы:

Сгруппируем и выделим полный квадрат:

Это неравенство имеет единственное решение, если .

Следовательно, при  исходная система имеет единственное решение.

Ответ: