Решение задачи по стреометрии из ДВИ в МГУ 2019

Сделаем чертеж:

Без ограничение общности можем считать, что плоскость проходит через вершины .

Центр сферы лежит в точке пересечения диагоналей параллелепипеда, в точке . По условию, шары расположены по разные стороны от плоскости , вписаны в сферу и имеют максимальный радиус. Следовательно, шары касаются сферы и плоскости , и  центры шаров лежат на прямой, проходящей через центр сферы перпендикулярно плоскости . То есть так:

Здесь отрезок - диаметр сферы, перпендикулярный плоскости, точка - точка пересечения диаметра  и плоскости . При другом расположении шаров, они будут иметь меньший радиус: 

Отношение радиусов шаров равно .

Воспользуемся методом координат. Введем систему координат с началом в точке :

Теперь наш план решения таков:

1. Найдем координаты точки и радиус сферы.
2. Найдем уравнение плоскости . 
3. Найдем расстояние от точки  до плоскости , то есть длину отрезка .
4. Найдем отношение .

Итак:

1.   Так как точка - точка пересечения диагоналей параллелепипеда, то есть является серединой диагоналей, координаты точки  .

Радиус сферы равен половине длины диагонали параллелепипеда, то есть

2. Ищем уравнение плоскости . Так как плоскоть проходит через начало координат, в общем виде ее уравнение имеет вид , где - координаты вектора нормали к плоскости. 

Плоскость проходит через точки и .

Подставим координаты точек в уравнение плоскости:

  , отсюда

  , отсюда 

Подставим в уравнение плоскости:

Раделим обе части на ,  и получим уравнение плоскости  :

   

3. Найдем длину отрезка .

Вспомним формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.

Итак, так как радиус сферы равен , имеем:

4. Найдем отношение .

 ; 

Ответ: