В этой статье мы разберем решение геометрической задачи из Задания 16 ЕГЭ по математике.
Познакомьтесь с решениями задач этого типа здесь, здесь и здесь.
1. Сторона квадрата 
равна 
. На стороне 
лежит точка 
, а на продолжении стороны 
за точкой 
лежит точка 
. Чему равна длина отрезка 
, если 
, a 
?
Решение.
показать
Так как , можно рассмотреть эти углы как вписанные, опирающиеся на хорду 
. Проведем окружность через точки 
:
Так как 
, следовательно, 
- диаметр окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр), следовательно, 
.
Докажем, что треугольник 
равен треугольнику 
.
Очевидно, что 
, так как - квадрат.
Теперь разберемся с углами. Отметим равные углы:
То есть 
Следовательно, треугольник равен треугольнику по катету и острому углу.
Отсюда
Тогда
Ответ: 
2. Дан прямоугольный треугольник 
с гипотенузой , равной . Окружность радиусом 
касается прямой 
и проходит через точки 
и . Чему равна длина отрезка 
?
Решение.
показать
Окружность касается прямой и проходит через точку , следовательно, радиус, проведенный к точке , перпендикулярен :
Опустим из точки перпендикуляр 
на 
. Пусть 
. Перпендикуляр разбивает треугольник 
на два прямоугольных треугольника 
и 
:
, следовательно, 
.
Заметим, что 
, то есть в конечном итоге нам нужно найти 
По теореме Пифагора из треугольника получим:
По теореме Пифагора из треугольника получим:
Отсюда
Получили систему уравнений:
Ответ:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
равна 
. На стороне 
лежит точка 
, а на продолжении стороны 
за точкой 
лежит точка 
. Чему равна длина отрезка 
, если 
, a 
?
с гипотенузой 
касается прямой 
и проходит через точки 
и 
?
Здравствуйте, Инна!
Смотрел только «задачи планиметрии». В первой задаче авторы некоторых учебников предлагают чуть-чуть по-другому выразиться.
Отрезок АК из разных точек L и С виден под одним углом, следовательно, через эти четыре точки можно (для решения многих задач и нужно) провести окружность .
А во второй можно сделать чертёж чуть по-другому и решение выйдет быстрее и изящнее. Отрезок АС чуть короче, чтобы СВ пересекла окружность в точке Е и В. Продлим АО до пересечения с окружностью в точке D. Трегольники АВС и АЕD прямоугольные и подобны.
Взяв отношения катетов к гипотенузе в обоих треугольниках , получим Ваш ответ. Спасибо Вам за внимание.
Здравствуйте, Инна ! Виноват, Ваш чертёж замечателен и по нему даже легче получить красивое (короткое) решение.
Продолжим АО до пересечения с окружностью в точке Е (АЕ — диаметр) и соединим Е и В.. Треугольники АЕВ и АВС прямоугольные и подобны. Угол АЕВ равен углу САВ и выразив синусы этих углов получаем Ваш ответ. Теперь мне вторая задача понравилась!!!
Или так) Спасибо!
Инна, как здорово Вы делаете чертежи!
Мне очень нравится, что к каждой задаче по два чертежа: один — с условием, другой — с решением. Спасибо Вам огромное!!! Вы полезное дело выполняете, что публикуете Ваши материалы! По ним можно готовиться учащимся к экзамену как в 11 классе, так и в 9 классАХ!
По поводу второй задачи: проводим, как предлагает Таер, диаметр АЕ, треугольник АВЕ — прямоугольный, а катет (его длина а)есть среднее пропорциональное между гипотенузой (она равна 2в) и проекцией этого катета на гипотенуз(его и нужно найти). Этот факт изучался в 8 классе в теме «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике».
С уважением, Людмила.
Да, спасибо!