В этой статье мы разберем решение геометрической задачи из Задания 16 ЕГЭ по математике.
1. Доказать, что треугольники 
и 
подобны.
2. Найти радиус окружности, описанной около треугольника .
Построим чертеж:
Докажем, что треугольники и подобны.
Очевидно, что угол 
- общий угол этих треугольников. Найдем пропорциональные стороны. Для этого воспользуемся теоремой о соотношении элементов прямоугольного треугольника: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
Из треугольника 
: 
Из треугольника 
: 
Приравняем правые части этих равенств, и получим 
Отсюда
Итак, треугольник подобен треугольнику по двум сторонам и углу между ними.
Так как по условию
, получим, что коэффициент подобия равен 
(отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия).
Введем обозначения: пусть 
, тогда 
; пусть 
, тогда 
:
Нам нужно найти радиус окружности, описанной около треугольника . Воспользуемся теоремой синусов:
Из треугольника найдем 
: 
Таким образом,
Осталось найти, чему равно произведение 
.
Вспомним соотношение . Из него получаем 
. Отсюда 
Тогда
Ответ: 
проведена высота 
. Из точки 
на стороны 
и 
опустили перпендикуляры 
и 
соответственно. 
, 
.
и 
Спасибо Инна Владимировна. Мы у вас учимся Вы много работаете Я больше всего пользуюсь вашими лекциями.
Спасибо, Любовь! Мне приятно)
Инна Владимировна, доказать подобие треугольников АВС и ВLK можно, на мой взгляд более красивым способом: описать около четырехугольника ВКLН окружность (ВН — диаметр). ТОгда, углы ВLК и ВНК равны, т.к. опираются на дугу ВК. Кроме того, в подобных треугольниках ВНС и ВКН углы ВНК и АСВ равны.
Значит, углы ВLК и С равны угол АВС — общий, треугольники АВС и ВLК подобны.
А вам за ум и за желание делиться большое спасибо!
Ваша коллега.
Большое спасибо, Светлана!