Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-03-10

Главная » СТАТЬИ » 04 Задание (2016) » Упрощение выражений, содержащих логарифмы. Задание В10 (2014)

10 Мар 2012

04 Задание (2016)ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Упрощение выражений, содержащих логарифмы. Задание В10 (2014)

В этой статье мы рассмотрим принцип упрощения выражений, содержащих логарифмы. Как обычно, мы это сделаем на примере заданий из Открытого банка заданий по математике.

Напомню несколько предварительных действий, которые сильно облегчают жизнь и помогают найти решение в ситуации, когда не знаешь с чего начать.

1. Постараться привести все логарифмы к одному основанию с помощью формулы перехода к новому основанию или вынеся степень за знак логарифма в виде коэффициента.

2. Разложить числа, стоящие под знаком логарифма на множители.

3. Десятичные дроби записать в виде обыкновенных.

4. Смешанные числа записать в виде неправильных дробей.

Итак. Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

1. Задание В10 (№26843) Найдите значение выражения $(log_{2}16)(log_{6}36)$ .

$(log_{2}16)(log_{6}36)=(log_{2}2^4)(log_{6}6^2)=(4log_{2}2)(2log_{6}6)=4*2=8$

Ответ: 8

2. Задание В10 (№26846) Найдите значение выражения $log_{0,25}2$

Запишем число 0,25 в виде обыкновенной дроби:

$log_{0,25}2=log_{1/4}2 =log_{2^{-2}}2=-{1/2}log_2{2}=-{0,5}$

Ответ: -0,5

3. Задание В10 (№26847) Найдите значение выражения $log_4{8}$

Разложим на простые множители основание логарифма и число, стоящее под знаком логарифма. Затем вынесем степени за знак логарифма.

$log_4{8}=log_{2^2}{2^3}={3/2}log_2{2}=1,5$

Ответ: 1,5

4. Задание В10 (№26848) Найдите значение выражения $log_5{60}- log_5{12}$

Поскольку основания логарифмов равны между собой, просто применим свойство логарифмов:

$log_5{60}- log_5{12}=log_5{{60}/{12}}=log_5{5}=1$

Ответ: 1.

5. Задание В10(№26849) Найдите значение выражения $log_5{0,2}+log_{0,5}{4}$

Запишем десятичные дроби в виде обыкновенных и вынесем степени за знак логарифма:

$log_5{0,2}+log_{0,5}{4}=log_5{1/5}+log_{1/2}{4}=-{log_5{5}}-{log_2{4}}=-1-2=-3$

Ответ: -3

6. Задание В10 (№26852) Найдите значение выражения ${log_7{13}}/{log_{49}{13}}$

${log_7{13}}/{log_{49}{13}}= {log_7{13}}/{log_{7^2}{13}}={log_7{13}}/{{1/2}log_{7}{13}}=2$

Ответ: 2

7. Задание В10 (№26853) Найдите значение выражения $log_5{9}log_3{25}$

$log_5{9}log_3{25}=log_5{3^2}log_3{5^2}=$

$4log_5{3log_3{5}}$

Ответ: 4

8. Задание В10 (№26854) Найдите значение выражения ${9^{log_5{50}}}/{9^{log_5{2}}}$ .

Разложим 50 на простые множители и упростим показатель степени в числителе дроби:

${9^{log_5{50}}}/{9^{log_5{2}}}= {9^{log_5{5^{2}*{2}}}}/{9^{log_5{2}}}=$ ${9^{log_5{5^2}+log_5{2}}}/{9^{log_5{2}}}={9^{2+log_5{2}}}/{9^{log_5{2}}}=$ ${{9^2}{9^{log_5{2}}}}/{9^{log_5{2}}}=81$

9. Задание В10 (№26855) Найдите значение выражения $( 1-log_2{12})(1-log_6{12})$

Приведем оба логарифма к основанию 2, а затем разложим числа 12 и 6 на простые множители:

$( 1-log_2{12})(1-log_6{12})=$ $( 1-log_2{(2^2{3})})(1-{log_2{(2^2{3})}}/{log_2{(2*3)}})=$ $(1-(2+log_2{3}))(1-{2+log_2{3}}/{1+log_2{3}})=$ $(-1-log_2{3})(1-{2+log_2{3}}/{1+log_2{3}})$

Обозначим $t= log_2{3}$ , получим:

(-1- t)({1+t-2-t}/{1+t})=-{(1+t)}{({-1})/{1+t}}=1

Замечание. Можно было поступить так: представим число 12 как произведение 2 и 6.

$( 1-log_2{12})(1-log_6{12})=(1-log_2{2}-log_2{6})(1-log_6{2}-log_6{6})=({-log_2{6}})({-log_6{2}})=1$

Ответ: 1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox

Для вас другие записи этой рубрики:

Упрощение выражений, содержащих логарифмы. Задание В10 (2014)

Инна | Отзывов (16) | Метки: решение задания В7

Отзывов (16)

← Предыдущие комментарии

татьяна

2012-06-10 в 10:24

Инна, огромное спасибо за работу. Даже не могу сказать, как меня сюда занесло, видно когда искала нужный материал. Но теперь очень рада, что это случилось. Сижу и не могу оторваться. Много полезного нашла для себя. Инна, а это вы сама решаете или у вас команда. Умница или умники.

Ответить
- Инна
  
  2012-06-12 в 09:24
  
  Спасибо, Татьяна! Решаю сама — я не командный игрок 🙂
  
  Ответить
Макс

2012-06-17 в 22:04

В задании №2 ошибка в ответе: не поставили знак минус.

Ответить
Макс

2012-06-17 в 22:10

В задании №6 в ответ: 2, а не 4.

Ответить
- Инна
  
  2012-06-18 в 05:31
  
  Спасибо, исправила 🙂
  
  Ответить
Сейбл

2013-10-14 в 06:50

Уважаемая Коллега! По моему мнению, в № 26855 рациональнее представить число 1 в первой скобке как логарифм по основанию 2 от 2, а во второй — как логарифм по основанию 6 от 6, и все решение займет 1 строчку… С наилучшими пожеланиями Вам!

Ответить
Сейбл

2013-10-14 в 06:55

Аналогично : если в № 26854 воспользоваться формулой разности показателей, а затем — разность логарифмов представить как логарифм частного, то решение занимает половину строчки… На мой профессиональный взгляд, не все приведенные Вами решения рациональны в плане обучения этим приемам школьников. С уважением и наилучшими пожеланиями к Вам.

Ответить
- Инна
  
  2013-10-14 в 07:03
  
  Разумеется, ваши способы прекрасны. Но рациональность приема заключается не только в в том, что решение занимает одну строчку. Мой опыт показывает, что владение одним универсальным приемом, который в большинстве случаев приведет к правильному ответу, для очень многих школьников является серьезным достижением. Я не ставлю перед собой задачу показать весь спектр приемов.
  
  Ответить