Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор, как находить его длину, и как умножать вектор на число, а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.
Как обычно, немного самой необходимой теории.
Вектор - это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:
Здесь точка А - начало вектора, а точка В - его конец.
У вектора есть два параметра: его длина и направление.
Длина вектора - это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора обозначается
Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.
Два вектора называются сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора и сонаправлены:
Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора и , а также и направлены в противоположные стороны:
Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными: вектора , и - коллинеарны.
Произведением вектора на число называется вектор, сонаправленный вектору , если , и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :
=k:
Чтобы сложить два вектора и , нужно начало вектора соединить с концом вектора . Вектор суммы соединяет начало вектора с концом вектора :
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.
Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку начала векторов с противоположным углом параллелограмма:
Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором даст вектор :
:
Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов: чтобы из вектора вычесть вектор , нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора с концом вектора ( то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):
Чтобы найти угол между вектором и вектором , нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами:
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Предлагаю вам решить задачи из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике, а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:
1. Задание 4 (№ 27709)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов и .
2. Задание 4 (№ 27710)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).
3. Задание 4 (№ 27711)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов и .
4. Задание 4 (№ 27712)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).
5. Задание 4 (№ 27713)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора .
6. Задание 4 (№ 27714)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .
7.Задание 4 (№ 27715)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .(чертеж из предыдущей задачи).
8.Задание 4 (№ 27716)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .
9. Задание 4 (№ 27717)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .
10. Задание 4 (№ 27718)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .(чертеж из предыдущей задачи).
11.Задание 4 (№ 27719)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов и .(чертеж из предыдущей задачи).
12. Задание 4 (№ 27720)
Стороны правильного треугольника ABC равны Найдите длину вектора +.
13. Задание 4 (№ 27721)
Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора -.(чертеж из предыдущей задачи).
14. Задание 4 (№ 27722)
Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
помогите, пожалйста.
В параллелограмме АВCD тупой угол в два раза
больше острого, BA = 3, BC=6. Найдите скалярное
произведение векторов BA и BC.
В пар-ме сумма тупого и острого углов равна 180 градусов. Поэтому острый угол равен 60 град., а тупой 120. Если В — тупой угол, то скалярное произведение векторов BA и BC равно
Помогите,1) длины сторон треугольника ABCD равны 7 и 24. постройте вектор BC-DC и найдите его длину.
2) постройте вектор а-2b и найдите квадрат его длины, если а {4;-2}, b=2i-j
Большое спасибо!Вы мне очень помогли! Все понятно, доступно объясняется. Вам респект!
№1 Даны т. А (-1;-2),т. В (0;-4),т. С (-1;-3)
1)найти координаты АС, координаты 2АС-4АВ
2)найти косинус острого угла между медианой ВМ и стороной ВС
3)найти :вектор АВ*вектор ВС+вектор АВ*вектор СА
№2Дан ромб МРКЕ найти сумму векторов МР+МЕ,КЕ+РК
посмотрите здесь //ege-ok.ru/2013/04/04/vektoryi-i-koordinatyi-bazovyie-zadachi
Дано, что вектор АВ=2*век(а)+2*век(в) вектор ВС= век(-а)+2*век(в) вектор СД=-3*век(а), век а и в ненулевые и неколлинеарны доказать что АВСД трапеция
Надо доказать, что AD=k*BC
AD=AB+BC+CD=2a+2b-a+2b-3a=-2a+4b=2(-a+2b)=2*BC
Следовательно, вектора AD и BC коллинеарны, тогда отрезки AD и BC параллельны.
Отсюда ABCD — трапеция.
подскажите пожалуйста, весь вечер крутила, мой ответ корень из 17, а в ответах 2корня из 17.
это мои рассуждения СА-СВ=ВА, ВА+АВ=0, остается ОА, а это 1/2АС
найти длину вектора СА-СВ+АВ-АО, если авсд прямоугольник и ав=8, вс=2
Елена, думаю, что Вы правы.