Тригонометрическое уравнение в целых числах
Предлагаю вам познакомиться с решением вот такого интересного тригонометрического уравнения:
Поскольку , произведение косинусов может быть равно 1 только в двух случаях: оба косинуса равны 1 или оба косинуса равны -1.
Таким образом, это уравнение равносильно совокупности двух систем:
(1)
или
(2)
Рассмотрим каждую систему.
(1) Решим каждое уравнение первой системы. Получим::
Так как в левой части стоят неотрицательные выражения, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Тогда n и m - целые и вдобавок неотрицательные числа числа.
В каждом уравнении разделим обе части на и возведем в квадрат. Получим:
;
Отсюда
Разделим обе части равенства на 4:
Или
Разложим левую часть на множители. (Помним, что n и m - целые неотрицательные числа. )
Произведение двух целых чисел равно 1, если оба эти числа равны 1 или -1. То есть выполняются условия:
или
Из первой системы получаем . Вторая система на множестве целых неотрицательных чисел решений не имеет.
Теперь вспоминаем, что , и получаем .
(2) Рассмотрим вторую систему. Она равносильна следующей:
В каждом уравнении разделим обе части на и возведем в квадрат. Получим:
;
Отсюда
или
На множестве целых неотрицательных чисел это уравнение решений не имеет.
Ответ:
Добавить комментарий