Решим задачу:
Дан равнобедренный треугольник . Угол равен . Внутри треугольника взята точка так, что угол , угол . Найдите углы и .
Треугольник равнобедренный, поэтому углы при основании равны. Углы при основании равны
Рассмотрим треугольники и и введем следующие обозначения:
Запишем теорему синусов для треугольников и и соотношение для углов и
Разделим первое уравнение на второе и исключим и :
Выразим через и упростим левую часть:
Теперь нам из этого выражения нужно вытащить тригонометрические функции угла .
Воспользуемся формулой синуса суммы, затем умножим обе части равенства на знаменатель правой части. Получим:
Раскроем скобки и перенесем выражения, содержащие влево, а содержащие вправо.
Получим:
Отсюда
Добавим и вычтем 1 в знаменателе дроби:
Теперь, если бы не было -1 в знаменателе дроби, мы могли бы применить формулы преобразования суммы и разности в произведение, и посмотреть, что из этого получится. Но -1 мешает. Сделаем такой "финт ушами"
;
Исходя из этого, перепишем дробь в таком виде:
Вынесем минус из знаменателя и преобразуем числитель и знаменатель по формулам преобразования суммы и разности в произведение:
Вот, собственно, и все. Отсюда получаем, что
;
Ответ: и
И.В. Фельдман, репетитор по математике
Купить видеокурс "ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и С1"
Инна! В задаче надо найти углы или показать, как владеем тригонометрическими преобразованиями?
Вообще-то найти углы.
Да, по-другому никак.
Как мы из sin20/sin10 получили 2cos10 ?
sin20=2sin10cos10
Небольшое замечание. Решение слегка искусственное. Целенаправленно ищется тангенс угла, а из-за этого финт с -1 в знаменателе похож на преодоление успешно созданной ситуации. На мой взгляд, применение теоремы синусов к треугольникам AMB, AMC,BMC даёт выгодное уравнение sin(80+x)/sin(x)=1/2sin10 , где x-угол ACM. Откуда ctg(x)=ctg20, x=20 градусов.
Или так) Спасибо!
У меня получились угол АСМ=40 градусов, угол ВСМ=60 градусов. Это правильно?
Здравствуйте. Я нашёл чисто геометрическое решение задачи, в котором в большей степени используется только свойство равнобедренного треугольника. Предлагаю вам его найти. Если заинтересует моё решение, можно связаться со мной по e-mail. Желаю всего наилучшего