Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
14 Янв 2014
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Выделение полного квадрата под корнем

Часто в процессе преобразований или решения уравнений встречаются выражения, содержащие корень под знаком квадратного корня. В большинстве случаев эти выражения можно упростить, выделив полный квадрат под корнем.

Посмотрим, как это делается.

Найти значение выражения:

sqrt{30-10sqrt{5}}+sqrt{9-4sqrt{5}}

Упростим первое слагаемое. Предположим, мы можем представить выражение 30-10sqrt{5} в виде полного квадрата.

30-10sqrt{5}=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 (1)

Если слагаемое a или b содержит корень, то при возведении в квадрат этот корень останется в удвоенном произведении. Поэтом приравняв правую и левую части равенства (1), мы получим систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a^2+b^2=30} {2ab=10sqrt{5}} }}{ }

Разделим второе уравнение на 2:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a^2+b^2=30} {ab=5sqrt{5}} }}{ }

То есть произведение чисел a и b равно 5sqrt{5}

Выражение 5sqrt{5} можно представить в виде произведения двух множителей двумя способами:

a=5 и b=sqrt{5}

или

a=1 и b=5sqrt{5}

Проверим, в каком случае a^2+b^2=30

5^2+(sqrt{5})^2=30 - эта пара нам подходит.

Следовательно, sqrt{30-10sqrt{5}}=sqrt{(5-sqrt{5})^2}=delim{|}{5-sqrt{5}}{|}=5-sqrt{5}

Внимание! Помним, что квадратный корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения.

Чтобы раскрыть модуль, выясняем знак подмодульного выражения. Если подмодульное выражение больше нуля, то раскрываем модуль с тем же знаком, а если меньше нуля, то с противоположным.

Упростим второе слагаемое.

sqrt{9-4sqrt{5}}

Представим подкоренное выражение в виде квадрата разности.

9-4sqrt{5}=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Получим систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a^2+b^2=9} {2ab=4sqrt{5}} }}{ }

Разделим второе уравнение на 2:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a^2+b^2=9} {ab=2sqrt{5}} }}{ }

То есть произведение чисел a и b равно 2sqrt{5}

Выражение 2sqrt{5} можно представить в виде произведения двух множителей двумя способами:

a=1 и b=2sqrt{5}

или

a=2 и b=sqrt{5}

Проверим, в каком случае a^2+b^2=9

1^2+(2sqrt{5})^2=21<>9 - эта пара нам не подходит.

2^2+(sqrt{5})^2=9 - эта пара нам подходит.

Следовательно, sqrt{9-4sqrt{5}}=sqrt{(2-sqrt{5})^2}=delim{|}{2-sqrt{5}}{|}=sqrt{5}-2 - подмодульное выражение 2-sqrt{5} меньше нуля, поэтому мы раскрыли модуль с противоположным знаком.

Итак, после упрощения корней мы получили равенство:

sqrt{30-10sqrt{5}}+sqrt{9-4sqrt{5}}=5-sqrt{5}+sqrt{5}-2=3

Ответ: 3

Для вас другие записи этой рубрики:

Выделение полного квадрата под корнем
| Отзывов (6)

Отзывов (6)

  1. Val
    в 05:52

    Супер, спасибо. Хотелось бы больше примеров на отработку.
    Ответить
  2. Наталья
    в 13:00

    Здравствуйте!
    Очевидно, что (а-b)^2=(b-a)^2, значит нет разницы, в каком порядке располагать a и b в полном квадрате под корнем? Зато при извлечении это начинает играть роль по определению модуля. Как догадаться о правильном расположении a и b?
    Ответить
    • Юлиана
      в 16:44

      Здравствуйте.
      Как раз модуль и позволяет решить, как их правильно расставить. Если значение подмодульного выражения больше или равно нулю, значит всё уже правильно,просто убрать модуль. Иначе же следует раскрыть модуль, поменяв все знаки внутри на противоположные. В случае с вычитанием это эквивалентно «поменять местами a и b».
      Ответить
  3. Виталий
    в 14:20

    Огромное спасибо за описанный метод решения. Применив его, у меня получилось упростить выражение с корнем 4 степени.
    Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *