Разложение многочлена на множители. Часть 1
Разложение на множители - это универсальный прием, помогающий решить сложные уравнения и неравенства. Первая мысль, которая должна прийти в голову при решении уравнений и неравенств, в которых в правой части стоит ноль - попробовать разложить левую часть на множители.
Перечислим основные способы разложения многочлена на множители:
- вынесение общего множителя за скобку
- использование формул сокращенного умножения
- по формуле разложения на множители квадратного трехчлена
- способ группировки
- деление многочлена на двучлен
- метод неопределенных коэффициентов
Внимание!
Количество членов в скобках равно количеству слагаемых в исходном выражении. Если одно из слагаемых совпадает с общим множителем, то при его делении на общий множитель, получаем единицу.
Пример 1.
Разложить на множители многочлен:
Вынесем за скобки общий множитель. Для этого сначала его найдем.
1.Находим наибольший общий делитель всех коэффициентов многочлена, т.е. чисел 20, 35 и 15. Он равен 5.
2. Устанавливаем, что переменная содержится во всех слагаемых, причем наименьший из её показателей степени равен 2. Переменная содержится во всех слагаемых, и наименьший из её показателей степени равен 3.
Переменная содержится только во втором слагаемом, поэтому она не входит в состав общего множителя.
Итак, общий множитель равен
3. Выносим за скобки множитель пользуясь схемой, приведенной выше:
Пример 2. Решить уравнение:
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители. Вынесем за скобки множитель :
Итак, получили уравнение
Приравняем каждый множитель к нулю:
или
Получаем - корень первого уравнения.
Корни квадратного уравнения :
или
Ответ: -1, 2, 4
2. Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения.
Если количество слагаемых в многочлене, который мы собираемся разложить на множители меньше или равно трех, то мы пытаемся применить формулы сокращенного умножения.
1. Если многочлен представляет собой разность двух слагаемых, то пытаемся применить формулу разности квадратов:
или формулу разности кубов:
Здесь буквы и обозначают число или алгебраическое выражение.
2. Если многочлен представляет собой сумму двух слагаемых, то, возможно, его можно разложить на множители с помощью формулы суммы кубов:
3. Если многочлен состоит из трех слагаемых, то пытаемся применить формулу квадрата суммы:
или формулу квадрата разности:
Или пытаемся разложить на множители по формуле разложения на множители квадратного трехчлена:
Здесь и - корни квадратного уравнения
Пример 3. Разложить на множители выражение:
серж
05.02.2017 в 17:15
Поясните пожалуйста: возможно ли целое А в этой формуле?
А^3=B^3-2^2/3C^3
Расставьте, пожалуйста, скобки. Не поняла формулу.