Квадратным уравнением называется уравнение вида , где .
- коэффициент при , или старший коэффициент.
- коэффициент при х, или второй коэффициент.
- свободный член.
Например, в уравнении , , .
B уравнении , ,
Если в квадратном уравнении или , то такое квадратное уравнение называется НЕПОЛНЫМ.
Неполное квадратное уравнение решается с помощью разложения на множители.
1. Если , то нужно вынести за скобки общий множитель.
Например,
Приравняем каждый множитель к нулю:
или
Ответ: {0, }
2. Если , то нужно разложить на множители по формуле разности квадратов:
Например:
Приравниваем каждый множитель к нулю, получаем:
или
Коротко это уравнение решается так:
В этом месте важно не забыть знак перед корнем!
Ответ: {}
Если в квадратном уравнении и , то такое квадратное уравнение называется ПОЛНЫМ.
Полное квадратное уравнение решается с помощью нахождения ДИСКРИМИНТА.
Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле:
.
Формулы для вычисления корней квадратного уравнения выглядят так:
В этих формулах дискриминант присутствует под знаком квадратного корня, поэтому
Eсли , то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Если , то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, которые можно найти по приведенным выше формулам.
Если , то квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:
.
Иногда говорят, что в этом случае квадратное уравнение имеет один корень.
Итак, при решении квадратного уравнения удобно пользоваться таким алгоритмом:
1. Определяем, является ли квадратное уравнение полным, или неполным.
2. Если уравнение неполное, раскладываем левую часть на множители и приравниваем каждый множитель к нулю.
3. Если уравнение полное, то
- находим дискриминант квадратного уравнения по формуле
- если дискриминант меньше нуля, то записываем, что квадратное уравнение не имеет действительных корней
- если дискриминант равен нулю, то находим корни квадратного уравнения по формуле
- если дискриминант больше нуля, то находим корни квадратого уравнения по формулам:,
Если коэффициент квадратного уравнения - четное число, то есть его можно записать как , или то для нахождения корней квадратного уравнения удобно пользоваться формулами для четного второго коэффициента:
Два полезных замечания:
1. Если для коэффициентов квадратного уравнения выполняется равенство , то ,
2. Если для коэффициентов квадратного уравнения выполняется равенство , то ,
Эти свойства помогают устно решать некоторые громоздкие квадратные уравнения. Например, в квадратном уравнении сумма коэффициентов равна 0, поэтому , .
В уравнении выполняется равенство , поэтому ,
Рассмотрим несколько примеров.
Решим квадратные уравнения:
1.
а) найдем дискриминант этого уравнения:
Дискриминант больше нуля, значит уравнение имеет два различных корня.
б) Тогда: ,
Ответ: {1; 1/2}
2.
а) Найдем дискриминант этого уравнения:
. Очевидно, что , и даже нет необходимости вычислять его точное значение.
Ответ: уравнение не имеет действительных корней.
3.
а) Найдем дискриминант этого уравнения:
б) Так как , уравнение имеет два совпадающих корня,
Если внимательно посмотреть на квадратный трехчлен, стоящий в левой части уравнения, то становится очевидно, то что его можно преобразовать по формуле квадрата разности к выражению
, отсюда
Ответ: 1/4.
А теперь я предлагаю вам посмотреть видеоурок с решением квадратного уравнения:
Случайно зашла на Ваш сайт. Я бабушка,помогаю внучке с домашними заданиями.Ну,порой,бывает трудно разобраться.А Вы так все легко и подробно объясняете.БОЛЬШОЕ ВАМ СПАСИБО!!!!!
А вы замечательная бабушка !!!.Порой не каждому помагают в решении домашних заданий , а у вас доброе сердце это говорит о том что вы внимательно относитесь к близким людям и если бы у меня была такая бабушка я была бы самым счастливым человеком в мире !!☺
X2-Y2-10
2(x+y)-5(x-y) это что за уравнение?
Здесь нет знака =
4×2+4x-3