Мы дали определение геометрической прогрессии, вывели основные формулы и решили несколько базовых задач здесь. В этой статье мы рассмотрим более сложные задачи на геометрическую прогрессию.
1. Четыре числа составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Сумма крайних членов равна 27, а произведение средних равно 72. Найти четвертый член прогрессии.
Запишем эти числа, выразив их через и :
Запишем условие задачи:
Нам нужно найти
Перепишем второе уравнение системы в таком виде:
.
Тогда получим такую систему:
Выразим через , и подставим во второе уравнение. Получим:
Решим квадратное уравнение, получим или
Проверим, какое значение нам подходит.
Если , то , то есть и данная прогрессия является убывающей. Но по условию данные числа составляют возрастающую геометрическую прогрессию, следовательно, это значение нам не подходит, и
Ответ: 24.
2. Произведение первого и пятого членов геометрической прогрессии с положительными членами равно 12. Частное от деления второго члена не четвертый равно 3. Сколько членов содержит прогрессия, если сумма ее членов равна
Запишем условие задачи в виде системы уравнений, выразив все данные через и :
Из второго уравнения системы получим, что , отсюда или . Так как по условию наша последовательность с положительными членами, .
Подставим в первое уравнение системы и найдем .
; ; (прогрессия с положительными членами).
Теперь подставим значения и в третье уравнение системы и найдем n.
Умножим обе части равенства на знаменатель дроби левой части.
Ответ: 4
3. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 4. Найдите шестой член прогрессии, если сумма кубов ее членов равна
Выпишем члены геометрической прогрессии:
Выпишем последовательность, члены которой равны кубам членов геометрической прогрессии.
Во второй последовательности первый член равен , знаменатель равен .
Сумма ее членов равна .
Получили систему уравнений:
(1)
Решим систему. Возведем первое уравнение в куб, и разделим на второе. Получим:
Решим квадратное уравнение.
Так как прогрессия убывающая, нас устраивает
Найдем . Подставим значение в первое уравнение системы (1).
;
Найдем .
Ответ: 0,0625
4. Каждый член бесконечной убывающей геометрической прогрессии в 5 раз больше суммы всех следующих за ним членов, а второй ее член на 5 единиц больше третьего. Найти сумму членов прогрессии.
Запишем в виде уравнения условие "каждый член бесконечной убывающей геометрической прогрессии в 5 раз больше суммы всех следующих за ним членов."
Возьмем . Члены прогрессии, которые за ним следуют, образуют убывающую геометрическую прогрессии с тем же знаменателем. Первый член этой прогрессии равен . Сумма это прогрессии равна
Получим уравнение:
или
Разделим обе части на
Теперь запишем систему уравнений:
(2)
Из первого уравнения системы (2) получаем . Подставим во второе уравнение системы и получим
Теперь мы можем найти сумму членов этой прогрессии.
Ответ:
Добавить комментарий