Найдите все значения параметра 
, при каждом из которых система
имеет более двух решений.
Решение.
Заметим, что первое уравнение системы не содержит параметр. Построим график этого уравнения:
Раскроем модуль, для этого приравняем подмодульное выражение к нулю: 
. Так как в левой части стоит выражение с двумя переменными, мы не можем найти значение каждой переменной, но можем выразить одну переменную через другую.
.
Если 
, то подмодульное выражение 
, и мы раскрываем модуль с противоположным знаком.
Если 
, то подмодульное выражение 
, и мы раскрываем модуль с тем же знаком.
Получаем:
(1)
(2)
Первое уравнение в каждой системе похоже на уравнение окружности. Получим уравнение окружности в явном виде.
Для первой системы:
Вернемся к системе (1).
- это часть окружности с центром в точке (8;-5), R=5, расположенная ниже прямой :
Аналогично выделяем полный квадрат в первом уравнении второй системы: 
Вернемся к системе (2).
- это часть окружности с центром в точке (0;0), R=5, расположенная выше прямой :
Итак, мы построили график первого уравнения исходной системы.
Преобразуем второе уравнение:
При варьировании параметра мы получим семейство прямых, параллельных прямой 
. Нужно определить, при каких значениях эти прямые имеют более двух точек пересечения с графиком первого уравнения.
Заметим, что уравнение прямой 
, соединяющей центры окружностей 
и 
имеет вид . Так как окружности имеют равные радиусы, то их общая касательная параллельна прямой, проходящей через центры окружностей. Таким образом, прямые вида и общие касательные к окружностям параллельны прямой 
.
Двигая мысленно прямую (варьируя значения параметра) вдоль оси 
, мы получим области, внутри которых прямые имеют более двух точек пересечения с графиком первого уравнения исходной системы. Касательные к окружностям обозначены пунктирными линиями, так как они имеют 2 точки пересечения с графиком уравнения:
Осталось найти уравнения прямых, ограничивающих эти области.
Прямая вида проходит через точку (3;-4) если выполняется равенство:
, отсюда 
Аналогично, прямая вида проходит через точку (5;0), если 
.
Найдем уравнения касательных. Прямая является касательной к окружности, если имеет с ней одну общую точку. Найдем уравнения касательных вида (или ) к окружности .
Мы ищем, при каком значении система
имеет единственное решение. Это произойдет в том случае, если уравнение
будет иметь единственное решение.
Квадратное уравнение имеет единственное решение, если 
Итак, мы получили ограничения на параметр :
Ответ: (
]
[
)
А что будет по критериям на ЕГЭ, если перепутать местами значения а в ответе, как здесь?
Упс! На ЕГЭ это не стоит делать. Не думаю, что сильно снизят — очевидно, что это опечатка. На рисунке все правильно.
Спасибо, исправила.
Уважаемая Ирина Владимировна! Спасибо Вам за Ваш труд. Чтобы понять решение подобной задачи и выявить сложности, которые возникают у ученика при её решении, сначала прорешала сама, сделав замену u=x-4; v=y+2 (решение практически точь в точь как Ваше, только чертёж симметричный относительно О(0;0)) — не в этом суть. Только на оформление решения я потратила 35 минут, не считая времени на предварительные наброски.
Как Вы считаете, может ли добросовестный ученик выполнить такое решение как Ваше за 30 минут (расчетное время на такое задание с сайта Дмитрия Гущина reshu-ege)?
Это должен быть не просто добросовестный ученик, а ученик, у которого есть огромный опыт решения подобных задач. Есть дети, которые решают лучше и быстрее, чем учителя)
Уважаемая Инна Владимировна, ОГРОМНЫЙ опыт решения таких задач в силу профессии есть у Вас. У меня есть опыт (конечно, поменьше- в силу специфики моей работы в колледже: тут параметры не востребованы). У выпускника есть 3 года (9, 10, 11 класс)+куча других предметов+какая-то личная жизнь ))) Просто думаю, что данная задача слишком перегружена для ЕГЭ, либо составителям нужно из профильного вообще убирать «базу», дать больше времени на профиль, и не издеваться над выпускниками )))
Татьяна, все-таки я с вами не соглашусь. Идея унифицированного ЕГЭ состоит в том, чтобы его результаты использовать для поступления в ВУЗ. Вторая часть приближена по уровню к экзаменам в профильный ВУЗ. Если ребенок не собирается поступать в математический ВУЗ, ему не обязательно мучиться с С5.
Прорешал примерно как у вас, но после чертежа неправильные точки указал, т.е. не Точный рисунок… поэтому ответ получился другой: (-11; -4] U [4; 11) (люблю симметрию) За такое снимают баллы?
Чертеж только помогает найти решения. Строго говоря, координаты точек надо вычислять. За неправильный ответ, разумеется, снижают баллы.