Рассмотрим решение задачи с параметром с помощью метода инвариант.
Найдите все пары 
действительных чисел 
и 
, для каждой из которых имеет единственное решение система уравнений.
Этот метод обычно применяют в тех случаях, если нужно найти значения параметра, при которых уравнение или система уравнений имеют единственное решение.
Заметим, что если мы в системе заменим 
на 
, то система от этого не изменится. Это значит, что если пара чисел 
является решением системы, то пара чисел 
также будет решением этой системы. Поэтому, чтобы система имела единственное решение, эти пары чисел должны быть одинаковыми. А это будет только в том случае, если 
.
Пусть . (1)
Тогда получим систему:
(2)
Теперь в полученной системе если мы заменим на 
, то система не изменится. Это значит, что если некоторое значение является решением системы, то число также будет решением системы. Чтобы эта система имела единственное решение, нужно, чтобы выполнялось условие 
. А это возможно только если 
.
Тогда, с учетом (1) получим и 
.
Подставим эти значения в систему, получим
Из последнего уравнения получим 
или 
.
Рассмотрим оба варианта.
1) , тогда 
и 
.
2) , тогда 
и 
.
Теперь осталось установить, при какой паре значений и система имеет единственное решение.
Проверим каждую пару и .
1) Подставим и в систему (2).
Получим
Из первого уравнения выразим 
через 
и подставим во второе уравнение.
Получим:
.
Это уравнение имеет два решения: 
. Проверим каждое.
При получим систему:
(3)
Из второго уравнения системы (3) выразим :
и подставим в третье уравнение системы:
Это уравнение имеет более одного корня, поэтому пара , нам не подходит.
2) Подставим и в систему (2).
Получим
(4)
Из первого уравнения выразим через
и подставим во второе уравнение.
Получим:
.
Отсюда или .
При получим систему:
Из второго уравнения системы (4) выразим :
и подставим в третье уравнение системы:
Введем замену 
, получим квадратное уравнение 
, которое не имеет решений.
При получим систему:
Очевидно, что последнему уравнению систему удовлетворяет только числа и .
Они являются решением и остальный уравнений.
Итак, при и исходная система имеет единственное решение 
.
Ответ: , .
И.В. Фельдман, репетитор по математике
Инна, здравствуйте!
Переделывали с учеником ваше решение. Не сходится ваше решение с нашим. Система при паре а=2, в=2 имеет два решения: z=2; z=1, а у вас она не имеет действительных корней. Похоже ошибка вышла. У вас 2z-z²+z=2 из чего получилось z²-z+2=0, а в действительности получается z²-3z+2=0. Решение этого уравнения даёт ещё несколько решений системы.
Да, Лариса, Вы правы. У меня тоже сначала так получилось, а потом что-то ступила)