5. Дана трапеция 
с основаниями 
и 
. Пусть 
- середина отрезка , а 
- произвольная точка отрезка . Пусть 
- пересечение отрезков 
и 
, а 
- пересечение отрезков 
и 
. Найдите все возможные значения площади треугольника 
, если известно, что 
, а площадь треугольника 
равна 
.
Решение. показать
ДВИ МГУ 18.07.2018 (задание 5, планиметрия)
Проще, Фельдман, проще.
После доказательства параллельности LK основаниям… А можно и не заикаться об этом, хотя и красива эта параллельность/
Из подобия двух пар треугольников DKM-CKN, CLN-LMA (по двум углам — каждая пара образована пересечением двумя параллельными прямыми двух, пересекающимися в свою очередь друг с другом между двумя первыми) с одинаковым коэффициентом подобия (CN — общее основание, а основания в подобных треугольниках DM=MA) следует, что высоты в DKM и LMA, в CKN и CLN попарно равны h1, h2 соответственно, а в сумме равны высоте h ABCD. Искомая площадь SABL равна разности SAGC и SBLC, где у AGC и BLC общее основание BC, а высоты h=h1+h2 и h2 соответственно. После приведения подобных слагаемых получаем, что площадь SABL=h1*BC/2, но h1=2*SDKM/MD=4*SDKM/AD. Отсюда SABL=4*SDKM*BC/2*AD=2*SDKM*BC/AD=2*2*5/4=5.