В этой статье опубликованы интересные задачи,связанные с линейной функцией. Задачи взяты из лекции из лекции Агаханова Назара Хангельдыевича, КПК МФТИ.
Прежде приступать к решению задач, рекомендую повторить свойства линейной функции.
Итак.
1. Пусть . Существуют ли числа такие, что графики функций расположены следующим образом:
Решение:
показать
График линейной функции тем круче, чем больше ее коэффициент наклона. То есть исходя из расположения графиков, получаем, что (1)
Координаты точки пересечения графика функции с осью ординат равны . Поэтом для наших функций имеем:
То есть (2)
Очевидно, что неравенство (1) противоречит неравенству (2) и таких чисел не существует.
2. Даны две линейных функции: . Точка расположена выше прямой и выше прямой . Как точка может располагаться относительно прямой
Решение.
показать
3. Доказать, что при любых значениях , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство:
Решение.
показать
Рассмотрим это неравенство как линейное относительно . Преобразуем его:
Рассмотрим линейную функцию
на промежутке (0;1)
Докажем, что и . В этом случае по свойству монотонности линейной функции для любого из промежутка (0;1) будет выполняться неравенство .
Так как , следовательно,
.
, так как
Что и требовалось доказать.
2 способ.
показать
Рассмотрим правильный треугольник, все стороны которого равны 1. Отложим на сторонах треугольника отрезки , такие, что .
Пусть - площадь правильного треугольника, а , , - площади отсеченных треугольников.
Рассмотрим соотношение:
(2)
С другой стороны,
Аналогично ,
Сложив эти равенства, и учитывая (2) получим неравенство
задача 3, способ решения первый, опечатка в неравенстве (y-1)(z-1)<1, а не 0 как в тексте
Спасибо!