Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-01-31

Главная » СТАТЬИ » ПРОИЗВОДНАЯ » Как найти производную. Таблица производных

31 Янв 2012

ПРОИЗВОДНАЯ

Как найти производную. Таблица производных

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

{f}prime(x)= lim{Delta{x}right{0}}{{Delta{f}}/{Delta{x}}}

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно. Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам получаем другую функцию:

{ f} prime(x)=g(x)

В этом равенстве f(x) - функция, от которой мы берем производную,

g(x) - функция, которая получается в результате этой операции.

Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение производной, существует таблица производных элементарных функций:

1. Производная константы равна нулю:

{(C)}prime=0

2. Производная степенной функции:

${(x^n)}prime=nx^{n-1}$

Заметим, что может принимать любые действительные значения.

Примеры.

1. ${(x^5)}prime=5x^4$

2. ${(1/{x^4})}prime={(x^{-4})}prime=-4x^{-4-1}=-4x^{-5}$

3. ${(1/{root{3}{x}})}prime={(x^{-1/3})}prime={-1/3}x^{{-1/3}-1}=-{x^{-4/3}}/3$

3. Производная показательной функции:

${(a^x)}prime={a^x}ln{a}$

Пример.

${(3^x)}prime={3^x}ln{3}$

Частный случай этой формулы:

${(e^x)}prime={e^x}$

4. Производная логарифма:

${(log_{a}x)}prime=1/{xlna}$

Частный случай этой формулы:

{(ln{x})}prime=1/x

5. Производные тригонометрических функций:

{(sinx)}prime=cosx

{(cosx)}prime=-sinx

${(tgx)}prime=1/{cos^2{x}}$

${(ctgx)}prime=-1/{sin^2{x}}$

6. Производные обратных тригонометрических функций:

${(arcsinx)}prime=1/{sqrt{1-x^2}}$

${(arccosx)}prime=-1/{sqrt{1-x^2}}$

${(arctgx)}prime=1/{1+x^2}$

${(arcctgx)}prime=-1/{1+x^2}$

Правила дифференцирования:

1. Производная суммы двух функций:

{(u+v)}prime={u}prime+{v}prime

2. Производная произведения двух функций:

{(uv)}prime={u}prime{v}+{v}prime{u}

3. Производная дроби:

${(u/v)}prime={{u}prime{v}-{v}prime{u}}/{v^2}$

4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число "выносится" за знак производной):

{(Cf(x))}prime=C{(f(x))}prime

Чтобы правильно найти производную функции f(x) , полезно придерживаться такого алгоритма:

1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

2. Отделите в явном виде коэффициенты.

3. Если возможно, упростите выражение f(x) , используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции f(x)

4. Вспомните, чему равны производные этих функций или посмотрите в таблице производных.

5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции f(x) и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

Пример 1. Найти производную функции:

$f(x)=log_{2}{x^4},~~x>0$

Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

$log_{2}{x^4}=4log_{2}{delim{|}{x}{|}}$

Так как по условию x>0 , следовательно, {delim{|}{x}{|}}=x

Таким образом:

${(f(x))}prime={(4log_{2}{x})}prime=4/{xln{2}}$

Пример 2. Найти производную функции:

$f(x)= 1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{{root{4}{x}}}$

1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

$f(x)= {1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{root{4}{x}}}= 1/{ x^{1/2}}+{x^2}/{ x^{1/3}}+x/{ x^{1/4}} = x^{-1/2}+ x^{2-{1/3}}+ x^{1-{1/4}}=x^{-1/2}+x^{5/3}+x^{3/4}$

Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

Следовательно:

${(f(x))}prime={(x^{-1/2})}prime+{(x^{5/3})}prime+{(x^{3/4})}prime=-{1/2}x^{-{1/2}-1}+{5/3}x^{{5/3}-1}+{3/4}x^{{3/4}-1}=-{1/2}x^{-{3/2}}+{5/3}x^{2/3}+{3/4}x^{-{1/4}}$

Пример 3. Найти производную функции

$y=x^2+1/{3x^2}-2/{5x^3}$

Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени и выделим в явном виде числовые коэффициенты:

$y=x^2+{1/3}*x^{-2}-{2/5}*x^{-3}$

Теперь легко найти производную:

${y}prime={(x^2)}prime+{1/3}*{(x^{-2})}prime-{2/5}*{(x^{-3})}prime=2x+{1/3}*{(-2x^{-3})}-{2/5}*{({-3}x^{-4})}=2x-{2/3}x^{-3}+{6/5}x^{-4}$

Пример 4. Найти производную функции:

$f(x)={2^x}/{{cos}{x}+1}$

Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

Найдем производную функции f(x) по формуле производной дроби:

$(u/v){prime}={u{prime}v-v{prime}u}/{v^2}$

В нашем случае:

$u=2^x;~~u{prime}=2^x{ln{2}}$

v={cos}{x}+1;~~v{prime}=-sin{x}

Отсюда:

${(f(x))}{prime}= {({2^x}/{{cos}{x}+1})}prime={{(2^x)}prime({cos}{x}+1)-{2^x}{({cos}{x}+1)}prime}/{{({cos}{x}+1)}^2}={{(2^x)}ln{2}({cos}{x}+1)-{2^x}({-sin{x}})}/{{({cos}{x}+1)}^2}$

КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

Видеоурок "Производная сложной функции" смотрите здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Как найти производную. Таблица производных

Инна | Отзывов (657)

Отзывов (657)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Игорь

2015-06-20 в 13:07

y=(e^(z)+1)/(e^(z)-e^(-z))

Ответить
- Инна
  
  2015-06-20 в 16:39
  
  Это производная дроби: (u/v)’=(u’v-v’u)/v^2
  u=e^(z)+1; u’=e^(z)
  v=e^(z)-e^(-z); v’=e^(z)+e^(-z)
  
  Ответить
Игорь

2015-06-20 в 14:04

y= cos Корень и под корнем x^3
y=x^2*ln(x+4)
y=arcsin*1/(x^3)

Ответить
- Инна
  
  2015-06-20 в 16:45
  
  1) √x^3=x^(3/2); y’=-sinx^(3/2)*(3/2)*x^(1/2)
  2) Это производная произведения: (uv)’=u’v+v’u
  u=x^2; u’=2x
  v=ln(x+4); v’=1/(x+4)
  3) 1/(x^3)=x^(-3)
  y’=(1/√(1-x^(-6)))*(-3x^(-4))
  
  Ответить
Назерке

2015-06-22 в 15:05

Помогите, пожалуйста, найти производные функций:
1)y=arctgx+1/3arctg(x^3)
2)y= х+ √(1-x^2)*arccosx
3)y=lntg (x/2+π/4)

Ответить
- Инна
  
  2015-06-23 в 08:13
  
  1) $y{prime}=1/{1+x^2}+{1/3}*{1/{1+x^6}}*3x^2$
  2) $y{prime}=1+{1/{2sqrt{1-x^2}}}*(-2x)*arccosx+sqrt{1-x^2}*(-1/{sqrt{1-x^2}})$
  3) $y{prime}={1/{tg (x/2+{pi}/4)}}*{1/{cos^2(x/2+{pi}/4)}}*{1/2}$
  
  Ответить
  - Назерке
    
    2015-06-25 в 08:51
    
    Спасибо огромное!
    
    Ответить
Саша

2015-06-23 в 14:28

Помогите пожалуйста найти производную функции f(x)=x^5-4x^3 в точке х(нулевое)=2

Ответить
- Инна
  
  2015-06-23 в 14:36
  
  f'(x)=5x^4-12x^2
  f'(2)=5*2^4-12*2^2
  
  Ответить
настя

2015-06-25 в 07:40

вычислить: sin( -1200)²+tg 750°
срочно нужна ваша помощь

Ответить
- Инна
  
  2015-06-25 в 08:30
  
  1200=3*360+120
  $(sin(-1200^{circ})^2=(sin(-120^{circ})^2=(sin(120^{circ})^2=({sqrt{3}}/2)^2=3/4$
  $tg{750^{circ}}=tg({720^{circ}+30^{circ}})=tg30^{circ}=1/{sqrt{3}}$
  Если , то и $sin(-1200^{circ})^2=sin{0}=0$
  
  Ответить
Алберт

2015-07-01 в 16:47

(3sin(x^2+1)-5/(3√x^7) помогите найти производную

Ответить
- Инна
  
  2015-07-01 в 16:57
  
  $5/{3sqrt(x^7)}=(5/3)*x^{-7/2}$
  $y{prime}=3cos(x^2+1)*2x-(5/3)*(-3,5)x^(-4,5)$
  
  Ответить
Оля

2015-07-15 в 12:52

Помогите пожалуйста.
Нужно найти производную:
y=2x^5+11e^x-√17
X0=0

Ответить
- Инна
  
  2015-07-15 в 17:14
  
  y’=10x^4+11e^x
  y'(0)=11
  
  Ответить