Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
04 Фев 2012
03 Задание (2022)

Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В7 (2015

Для решения задач на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника нужно вспомнить определения синуса, косинуса и тангенса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник:

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Противолежащий катет - это тот катет, который лежит напротив угла, синус которого мы рассматриваем.

Например, для  треугольника, который изображен на рисунке,  sin{A}=a/b, sin{C}=c/b

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Прилежащий катет - это тот катет, который является одной из  сторон угла, косинус которого мы рассматриваем.

Например, для  треугольника, который изображен на рисунке,  cos{A}=c/b, cos{C}=a/b

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Например, для  треугольника, который изображен на рисунке,  tg{A}=a/c, tg{C}=c/a

Задачи на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника решаются по такому алгоритму:

1. Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который нам нужно найти.

2. Смотрим, какие элементы треугольника нам известны, и  с помощью какой тригонометрической функции они между собой связаны.

3. Записываем соотношение, которое связывает между собой эти элементы,

Рассмотрим примеры решения задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике:

1. Задание В7 (№ 27217)  В треугольнике ABC  угол C равен 90^{circ}, sin{ A}=7/{25}. Найдите cos {A}

рис.1

Решим эту задачу двумя способами.

а. Так как требуется найти косинус угла, синус которого известен, мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством.

{cos}^2{A}=1-{sin}^2{A}=1-{(7/25)}^2=1-{{49}/{625}}={625-49}/{625}={576}/{625}

cos{A}={24}/{25}

б. sin{ A}={BC}/{AB}=7/{25}

Введем единичный отрезок x, тогда BC=7x, AB=25x

По теореме Пифагора AC=24x.

Тогда cos{A}={AC}/{AB}={24x}/{25x}={24}/{25}

Ответ: cos{A}={24}/{25}

2. Задание В7 (№27220)

В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, sin{ A}=0,1. Найдите  cos {B}

Смотрим на рис.1:

cos {B}={CB}/{AB}=sin{ A}

Значит, cos {B}=0,1

Ответ: cos {B}=0,1

3.  Задание В7 (№27221)

В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, sin{ A}=4/{sqrt{17}}. Найдите  tg {B}

sin{ A}={CB}/{AB}=4/{sqrt{17}}

Введем единичный отрезок x, тогда CB=4x, AB=sqrt{17}x

По теореме Пифагора AB^2=AC^2+CB^2

17x^2=AC^2+16x^2

AC^2=x^2

AC=x

tg {B}={AC}/{CB}=x/{4x}=0,25

Ответ: tg {B}=0,25

4. Задание В7 (№27221)

В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, sin{ A}=7/{25},  AB=5. Найдите AC.

sin{ A}={BC}/{AB}=7/{25}

Введем единичный отрезок x, тогда BC=7x, AB=25x

По теореме Пифагора AC=24x

Найдем x: AB=25x=5 - по условию.

Значит, x=1/5. Отсюда AC=24x=24/5=4,8

Ответ: AC=4,8

5. Задание В7 (№27259)

В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, sin{ A}=2/3,  AB=27. Найдите AH.

Найдем AC из треугольника  ABC

AC - прилежвщий  к углу A катет, поэтому он связан с AB через cos{A}

Найдем cos{A} с помощью основного тригонометрического тождества:

cos{A}=sqrt{1-sin^2{A}}=sqrt{1-{(2/3)}^2}={sqrt{5}}/3

cos{A}={AC}/{AB}, отсюда AC=ABcos{A}=27{sqrt{5}}/3=9{sqrt{5}}

Теперь рассмотрим треугольник ACH, в котором AC - гипотенуза, а AH - катет, связанные между собой через cos{A}:

cos{A}={AH}/{AC}, отсюда AH=ACcos{A}={9sqrt{5}}*{sqrt{5}}/3=15

Ответ: AH=15.

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox


И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс "ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В"

Для вас другие записи этой рубрики:

Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В7 (2015
| Отзывов (7) | Метки:

Отзывов (7)

  1. любовь
    в 13:35

    Здравствуйте,Инна.Благодаря Вашему сайту,я белый свет увидела.А то все выходные сижу,выбираю из всех пособий ЕГЭ задачи,естественно решаю их.Учителя математики,работающие в 11 классе, очень хорошо меня понимают.Огромное Вам ,Инна,спасибо,очень хороший подбор геометрических задач.
    Ответить
  2. Андрей
    в 08:25

    Учась в школе, больше любил геометрию, чем алгебру. Вот и сейчас очень часто приходится «решать» прямоугольные треугольники: то угол нужно вычислить, то длину катета…
    Ответить
  3. 367300
    в 09:59

    У меня вопрос, а почему в задаче номер пять, где вы находите косинус через основное тригонометрическое тождество, равняется корень из пяти деленного на три? А то у меня получилось, что квадрат сокращается остается 1-2/3, и, получается равно 1/3, не как у вас. Обьясните пожалуйста, как вы решили
    Ответить
    • 367300
      в 10:46

      все я понял)))
      Ответить
  4. Илья
    в 13:09

    Добавте плииз задачу где есть гипотенуза и там надо найти меньший из отрезков на которые делит гипотенуза биссектриса прямого угла
    Ответить
    • Инна
      в 13:12

      А можно условие задачи, или хотя бы номер в банке заданий
      Ответить
  5. Алеся
    в 19:01

    Ребята ну что это такое? Это же школьная программа 8 класса, если хотите что то интересное зайдите в квант) все ведь в школе учились?
    Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *