Решение логарифмических уравнений. Часть 1.
Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма ( в частности, в основании логарифма).
Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:
Решение любого логарифмического уравнения предполагает переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов. Однако это действие расширяет область допустимых значений уравнения и может привести к появлению посторонних корней. Чтобы избежать появления посторонних корней, можно поступить одним из трех способов:
1. Сделать равносильный переход от исходного уравнения к системе, включающей область допустимых значений уравнения:
или
,
в зависимости от того, какое неравенство 
или 
проще.
Если уравнение содержит неизвестное в основании логарифма:
,
то мы переходим к системе:
2. Отдельно найти область допустимых значений уравнения, затем решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ уравнения.
3. Решить уравнение, и потом сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение, и проверить, получим ли мы верное равенство.
Логарифмическое уравнение любого уровня сложности в конечном итоге всегда сводится к простейшему логарифмическому уравнению.
Все логарифмические уравнения можно условно разделить на четыре типа:
1. Уравнения, которые содержат логарифмы только в первой степени. Они с помощью преобразований и использования свойств логарифмов приводятся к виду
или
Пример. Решим уравнение:
Решение.
Выпишем ОДЗ уравнения:
Внимание! Мы всегда ищем ОДЗ исходного уравнения, а не того, которое получится в процессе преобразований. То есть ОДЗ записываем перед тем, как переходим к решению уравнения.
Для упрощения вычислений давайте перенесем логарифмы с отрицательными коэффициентами в противоположную часть уравнения - из соображений, что умножать проще, чем делить:
Представим число 2 в виде логарифма по основанию 4:
Получим уравнение: 
Воспользуемся свойствами логарифмов:
Приравняем выражения, стоящие под знаком логарифма:
Проверим, удовлетворяет ли наш корень ОДЗ уравнения:
Да, удовлетворяет.
Ответ: х=5
2. Уравнения, которые содержат логарифмы в степени, отличной от 1 (в частности, в знаменателе дроби). Такие уравнения решаются с помощью введения замены переменной.
Пример. Решим уравнение:
Решение.
Найдем ОДЗ уравнения: 
Уравнение содержит логарифмы в квадрате, поэтому решается с помощью замены переменной.
Важно! Прежде чем вводить замену, нужно "растащить" логарифмы, входящие в состав уравнения на "кирпичики", используя свойства логарифмов.
При "растаскивании" логарифмов важно очень аккуратно применять свойства логарифмов:
Кроме того, здесь есть еще одно тонкое место, и, чтобы избежать распространенной ошибки, воспользуемся промежуточным равенством: запишем степень логарифма в таком виде:
Аналогично,
.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение. Получим:
Теперь мы видим, что неизвестное 
содержится в уравнении в составе 
. Введем замену: 
. Так как может принимать любое действительное значение, на переменную
мы никаких ограничений не накладываем.
Получили уравнение:
Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение:
, 
Вернемся к исходной переменной:
, 
Отсюда:
, 
Ответ: ,
Решение логарифмических уравнений остальных типов мы рассмотрим здесь и здесь.
Добрый день, сижу готовлюсь к вступительным экзаменам в вуз, математика последний раз в техникуме закончилась 4 года назад и я ее позабыл, вот сейчас сижу и пытаюсь вникнуть в логарифмы,
вот такой пример
по большей части волнует что делать с логарифмами в степенях чисел, мне нужно объяснение как решать чтоб я понял «механизм» а ранее спасибо
При пребразовании логарифмов в степени обычно пользуются основным логарифмическим тождеством. Но здесь другое свойство:
a^(log_b(c))=c^(log_b(a)) — можно «перекидывать» основание степени и выражение под знаком логарифма
При преобразовании выражений с логарифмом в показателе пользуются либо основным логарифмическим тождеством, либо свойством:
a^(log_b(c))=c^(log_b(a)) — можно «перекинуть» основание степени и выражение под знаком логарифма
у меня пример log4(3+0.1x)=-1
что делать подскажите пожалуйста?
-1=log_4(1/4)
log4(3+0.1x)=log_4(1/4)
3+0.1x=1/4
Х в степени log x-3,по основанию 5 равно 1/25
Напишите пожалуйста решение,очень нужно
Х в степени log x-3,по основанию 5 равно 1/25
Напишите пожалуйста решение,очень срочно нужно
Нужно от обеих частей взять логарифм по основанию 5.Получим: log_5(Х в степени log x-3,по основанию 5)=log_5(1/25)
Получим( log_5(x)-3)*log_5(x)=-2
Дальше ввести замену log_5(x)=t и решить кв. уравнение относитeльно t, и вернуться к исходной переменной.
Огромное спасибо,за вашу помощь
Извините,а что будет являться исходной переменной?
Исходная переменная х — если, например получим t=2, то потом чтобы найти х нужно решить уравнение log_5(x)=2
log2[log9(log5(x-3))]=0
log5(x-3)-это всё в квадрате
помогите,пожалуйста
Решать снаружи внутрь: сначала 0 представить в виде логарифма по основанию 2, получим [log9(log5(x-3))]=1, затем 1 представить в виде логарифма по основанию 9 — и так далее.
Здравствуйте Инна! Очень жду 2-часть решения логарифмических уравнений и неравенств! нравятся четкие алгоритмы решения!спасибо вам от души!!!
Здравствуйте,помогите решить уравнение!
lg(x-1)+lg(x+1)=0
ОДЗ: x>1
По свойствам логарифмов lg(x-1)*(x+1)=lg1
x^2-1=1
x=√2; x=-√2 — не подходит по одз
Отв: x=√2
Что делать когда в основании логарифма 2х или 4х?
Привести все логарифмы к одному основанию, а потом «растащить»
Например, log_(4x)(8x^2)=[log_2(8x^2)]/[log_2(4x)]
Спасибо