Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-10

Главная » СТАТЬИ » ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение логарифмических неравенств

10 Фев 2012

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение логарифмических неравенств

Решение логарифмических неравенств имеет много общего с решением показательных неравенств:

а) При переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание логарифма с единицей;

б) Если мы решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства.

Однако, есть одно очень важное отличие: поскольку логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо учитывать область допустимых значений.

Если при решении логарифмического уравнения можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при решении логарифмического неравенства этот номер не проходит: при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать ОДЗ неравенства.

Итак. Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид:

$log_a{f(x)}$ V $log_a{g(x)}$ , где V - один из знаков неравенства: <,>, ≤ или ≥.

Если основание логарифма больше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенство

$log_a{f(x)}>log_a{g(x)}$

равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)>g(x)} {g(x)>0} }}{ }

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный, и неравенство

$log_a{f(x)}>log_a{g(x)}$

равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)<g(x)} {f(x)>0} }}{ }

Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств.

1. Решим неравенство:

$log_{1/3}{(x+4)}>log_{1/3}{(x^2+2x-2)}$

Так как основание логарифмов в обеих частях неравенства меньше 1, при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный. Выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть строго больше нуля. Перейдем к системе:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x+4<x^2+2x-2} {x+4>0} }}{ }$

Обратите внимание: мы указываем, что больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под знаком логарифма. В этом случает большее выражение автоматически будет больше нуля.

Решим систему неравенств:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x^2+x-6>0} {x>-4} }}{ }$

Корни квадратного трехчлена: x_1=-3 , x_2=2

Отсюда:

Ответ: {x} in{(-4;-3)}{union}{x}in{(2,{infty})}

2. Решим неравенство:

$log_2{(2-x)}+log_{1/2}{(x-1)}>log_{sqrt{2}}{3}$

Мы видим, что в основании логарифмов стоят степени числа 2, поэтому мы можем привести логарифмы к одному основанию. Сделаем это, воспользовавшись свойствами логарифмов:

$log_2{(2-x)}-log_{2}{(x-1)}>2log_{2}{3}$

Перенесем логарифм с отрицательным коэффициентом из левой части неравенства в правую (так как умножать легче, чем делить).

$log_2{(2-x)}>log_{2}{(x-1)}+2log_{2}{3}$

Так как в неравенстве присутствуют логарифмы с одинаковым основанием и в первой степени, мы можем представить обе части неравенства в виде логарифма по основанию 2:

$log_2{(2-x)}>log_{2}{(x-1)}*{3}^2$

Теперь мы можем перейти от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма. Основание больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется. Не забываем про ОДЗ:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2-x>9(x-1)} {x-1>0} }}{ }

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x<1,1} {x>1} }}{ }

Ответ: {x} in{(1;1,1)}

3. Решим неравенство:

$log^{2}_{2}{(x-x^2+2)}+3log_{1/2}{(x-x^2+2)}<=-2$

В нашем неравенстве логарифм стоит в квадрате, поэтому это логарифмическое неравенство мы будем решать с помощью замены переменных.

Сначала приведем логарифмы к одному основанию:

$log^{2}_{2}{(x-x^2+2)}-3log_{2}{(x-x^2+2)}<=-2$

Введем замену переменных:

$log_{2}{(x-x^2+2)}=t$ .

Получим квадратное неравенство:

t^2-3t+2<=0

Значит, 1<=t<=2 .

Запишем это двойное неравенство в виде системы:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t<=2} {t>=1} }}{ }

Вот только теперь, когда мы получили систему простейших неравенств относительно , мы можем вернуться к исходной переменной.

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{log_{2}{(x-x^2+2)}<=2} {log_{2}{(x-x^2+2)}>=1} }}{ }$

Перейдем к выражениям, стоящим под знаком логарифма:

$delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{{(x-x^2+2)}<=2^2} {{(x-x^2+2)}>=2}{{(x-x^2+2)}>0} }}{ }$

Последнее неравенство системы - это ОДЗ неравенства. Заметим, что оно выполняется, если выполняется второе неравенство системы, поэтому нет необходимости его решать.

Решим систему.

Первое неравенство системы преобразуется к виду

x^2-x+2>=0 Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен, старший коэффициент положителен, поэтому неравенство верно при любых действительных значениях .

Второе неравенства преобразуется к виду x-x^2>=0 , отсюда {x}in{[0;1]}

Ответ: {x}in{[0;1]}

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (103)

Отзывов (103)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Фаиль

2016-03-08 в 07:35

Здравствуйте! Пожалуйста, помогите решить (log_2^2(x)-2log_2(x))^2 + 36log_2(x) + 45 < 18log_2^2(x)

Ответить
- Инна
  
  2016-03-08 в 14:32
  
  Решить с помощью замены: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
  - Люба
    
    2016-03-30 в 10:42
    
    Помогите с решением
    2log(2x+7)по основанию х+4 *log(2-x)по основанию 4х+7 — log(x^2-5x+6) по основанию (х+4)^-1>=0
    
    Ответить
    - Инна
      
      2016-03-31 в 13:57
      
      Я не поняла условие.
      
      Ответить
tomik

2016-04-09 в 05:04

Помогите: log 1/5 (x^2 — 5*x +7) > O

Ответить
- Инна
  
  2016-04-09 в 06:54
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  Это неравенство равносильно системе:
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
Evgeniya

2016-04-14 в 09:26

Пожалуйста подскажите как решить :
3log(6-x) по основанию (x-3) +1 < или = 1/4log в квадрате (x в квадрате — 9x+18)в квадрате по основанию (x-3)

Ответить
- Инна
  
  2016-04-14 в 09:39
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  так?
  
  Ответить
  - Evgeniya
    
    2016-04-15 в 08:52
    
    Да
    
    Ответить
    - Инна
      
      2016-04-15 в 09:00
      
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      Найти ОДЗ
      С учетом ОДЗ раскрываем модуль
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      Теперь ввести замену: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
      
      Ответить
Настя

2016-04-20 в 17:56

log по основанию x-2 (2x-7) меньше 1

Ответить
- Инна
  
  2016-04-20 в 19:32
  
  см. здесь: //ege-ok.ru/2012/02/12/reshenie-logarifmicheskih-neravenstv-s-peremennyim-osnovaniem
  
  Ответить
Виктория

2016-04-25 в 14:27

Помогите, пожалуйста, желательно подробно:
1)log x по основанию 2 >0
2)log x по основанию 2 <=0
3)log x по основанию 0,5 0

Ответить
- Инна
  
  2016-04-25 в 14:36
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ — так основание логарифма >1, знак сохраняется.
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ — учитываем ОДЗ логарифма
  
  Ответить
Дмитрий

2016-05-06 в 07:22

Здравствуйте, а скажите, пожалуйста, почему же при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма(правила в самом начале страницы), в системе мы пишем только выражение, относящееся к ОДЗ только одного из логарифмов, а не обоих. Нас в школе учили переходить только при положительных значениях ОБОИХ выражений логарифмов. Спасибо

Ответить
- Инна
  
  2016-05-06 в 07:46
  
  Если А>B, то из того, что B>0 (меньшее выражение) следует, что A>0 (большее выражение). А в общем случае — да — нужно писать, что все выражения под знаком логарифма больше нуля.
  
  Ответить
Катя

2016-05-11 в 09:40

log8/3log1/2(x^2-x-6)>=0

Ответить